• Шоврፖτθ ε скошυзвዎжο
• Ծ вαбθթէቄ
  • ԵՒዣኖጱеպուβև е зв
  • ኡዢτաслθ огեкоςа уσէпсθኀо
• Իбиσеብω ιклυше
  • Еጮቨ оσыз
  • Խዩኜт отοшиπυ ускዡնызв

S= Le soleil pour la santé et le Tarot. Sur le Soleil, nous voyons 2 enfants qui se touchent. Ils représentent deux aspects de notre « enfant intérieur » qui ont besoin de se réconcilier, de s’entre’aider. S’il ne sont pas s’harmonisés, ils sont en conflit. Or le conflit psychique interne est la principale racine de la maladie.

.+/>3 + etc. Supposons, pour fixer les idées, que l’on ait un nombre donné i d’urnes A, contenant des boules blanches et des boules noires, et que le nombre total de boules et le nombre de boules blanches soient c, et a, dans une première urne, c % et a % daus une seconde, etc. Supposons aussi que E soit l’extraction d’une boule blanche, en mettant la main au hasard dans l’une de ces urnes. Cet événement pourra alors arriver de i manières différentes, puisque i est le nombre d’urnes d’où la boule blanche pourra sortir. La probabilité que la main se portera sur l’une de ces urnes sera la même pour toutes et égale à la chance d’extraire une boule blanche sera — , —, —, etc., selon l’urne sur la- c.’ c,’ c 3 ’ quelle la main se portera effectivement; d’après la règle du n° 5, les probabilités p,, p t , Pi, etc., des diverses manières dont E pourra arriver, seront donc Px I fi i c, ’ P* L fi i c,’ Pi i_ a 3 i c 3 ’ etc.; et il s’agira de prouver que la probabilité complète p de l’extraction d’une boule blanche, de l’une ou de l’autre de toutes les urnes A, aura pour valeur p= - + - + - + etc.. r 1 \ c, 1 c, 1 c 3 1 J La démonstration de cette règle est fondée sur un lemme qui sera également utile dans d’autres occasions. Concevons un nombre quelconque i d’urnes C, contenant des boules blanches et des boules noires en proportions diverses, mais dont le nombre total soit le même et représenté par p, pour chacune de ces SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 45 urnes; la probabilité d’extraire de leur ensemble une boule blanche ne changera pas si l’on réunit les i/x boules qu’elles contiennent dans une seule urne B. En effet, elles y formeront des groupes disposés d’une manière quelconque, dont chacun contiendra les boules provenant d’une même ui’ne C, et qui seront tous composés d’un même nombre fx de boules, ce qui suffit pour que la chance d’y porter la main soit la même pour tous ces groupes, et égale à A, comme quand chaque groupe était renfermé dans une urne C. La chance de tirer une boule blanche du groupe où la main se portera n’aura pas non plus changé; par conséquent, la probabilité d’extraire une boule blanche sera la même pour l’urne B et pour le système des urnes C. Cette conclusion n’aurait plus lieu, si les nombres de boules que les urnes C renferment étaient inégaux; quels qu’ils soient, la chance que la main se portera sur l’une des urnes sera la même, et égale à mais quand toutes les boules auront été réunies dans l’urne B, les groupes qu elles y formeront contenant des nombres inégaux de boules, la chance que la main s’y portera ne sera pas égale pour tous ces groupes elle est évidemment plus grande pour ceux qui seront formés d’un plus grand nombre de boules. Cela posé, réduisons toutes les fractions —, — , —, etc., à un même C, C, C3 dénominateur, que nous désignerons par fx. Soient alors a,, a % , a 3 , etc., leurs numérateurs, de sorte qu’on ait La chance d’extraire une boule blanche de chacune des urnes A, et par conséquent 4 e l’ensemble de ces urnes, ne changera pas si l’on remplace chacun^.es nombres c lt c,, c 3 , etc., de boules blanches ou noires, par le meme nombre /x, et les nombres a lt a % , a 3 , etc., de boules blanches, par a,, a,, a 3 , etc. La probabilité de l’extraction d’une boule blanche ne changera pas non plus, si l’on réunit ensuile toutes ces boules dans une même urne C. Or, cette urne contenant alors un nombre total ifx de boules, parmi lesquelles il y aura un nombre a, -f- a 3 -etc., de boules blanches, cette probabilité sera 46 RECHERCHES le rapport du second nombre au premier, ou, ce qui est la même chose, - + - + - + etc -; t \ft U 1 U J quantité qui coïncide, en vertu des équations précédentes, avec la valeur de p qu’il s’agissait de démontrer. n. Pour appliquer cette règle à des exemples, supposons d’abord qu’il soit à la connaissance d’une personne qu’une boule a été extraite, ou d’une urne A contenant cinq boules blanches et une boule noire, ou d’une urne B renfermant trois boules blanches et quatre boules noires, et qu’elle n’ait aucune raison de croire que cette boule soit sortie plutôt de l’une que de l’autre des deux urnes. Pour cette personne , la probabdité — „ + 1 et la probabilité complète ;ï + '» 7 7 + 0 ; en prenant leur somme et la divisant par trois, on aura donc f pour la probabilité complète de cette extraction, comme pour celle d’une boule blanche, de l’urne A. >2 Considérons enfin un système d’urnes D,, D a , D 3l etc., dont la première renferme un nombre c, de boules parmi lesquelles a t boules blan- 7 RECHERCHES ches,la deuxième ua boules dont a,boules blanches, etc.; et supposons que par une raison quelconque, il n’y ait pas la même chance pour toutes ces urnes, que la main s’y portera pour en extraire une boule blanche ou noire. Désignons alors par h, la probabilité qu’elle se portera sur l’urne D 1} par k t la probabilité qu’elle se portera sur l’urne D,, etc. Par la règle du n° 5, la probabilité d’extraire une boule blanche de la première urne sera k, de la seconde k % — , etc. ; ces produits exprimeront donc les probabilités par- tielles p,, p t , p 3 , etc., relatives aux diverses manières dont l’extraction d’une boule blanche pourra avoir lieu ; par conséquent, la probabilité complète q — 7i H - 7» “H fa “h" etc -> et, par conséquent, Pi - f- P* + Ps + etc. + q t - F 7* + etc. Maintenant, si un nombre m des lettres A, B, C, D, etc, représentent un même événement E, celles de leurs permutations qui ne diffèrent que par les places de E seront aussi les mêmes; ce qui réduira le nombre des permutations distinctes, au produit précédent, divisé par le nombre 53 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, de permutations dont ces m lettres E sont susceptibles, et qui est i .2 ; 3...m. Si les p — m ou n autres lettres représentent aussi un même événement F, il faudra également diviser ce produit par le nombre de permutations de ces n lettres F, ou par n. Par conséquent, le nombre de permutations distinctes que l’on peut faire avec m événements E et n événements F, c’est-à-dire la valeur de K qu’il s’agissait d’obtenir, sera K = t m. i . 2 .3... n A cause de = m +, cette quantité K est symétrique par rapport à m et à n; mais on peut aussi l’écrire sous ces deux autres formes u fi — i u — 2 . . .ic — m -j- i i. 2 .3 ... m fi./t — î .fi — 2. . ,ft — n -f- i . n ’ K K= qui montrent que la probabilité n, ou le produit K p m q m , est le ternie du rang m - f- i dans le développement de p - f- qÿ ordonné suivant les puissances croissantes de p, ou le terme du rang n-j- i dans ce développement ordonné suivant les puissances croissantes de q. On conclut de là que dans le cas que nous examinons, où les chances p et q des deux événements contraires E et F sont constantes, celles de tous les événements composés qui peuvent arriver dans un nombre pt, d’épreuves ont pour expressions, les différents termes de la formule du binôme p-\- q élevé à la puissance p-. Le nombre de ces événements est p - f- i. Ils sont inégalement probables, soit à cause de la multiplicité des combinaisons qui peut les amener et qui est exprimée, pour chacun d’eux, par le nombre K, soit à raison de l’inégalité des chances p et q. Dans le cas de p = q } l’événement le plus probable est celui qui répond à m — n, lorsque p RECHERCHES h 54 est un nombre,pair; et l’un des deux qui répondent à m —n = rbi, quand /x. est un nombre impair. 1 5 . Soit P la probabilité que E arrivera au moins m fois dans le nombre fx. d’épreuves. Cet événement composé pourra avoir lieu de m - f- 1 manières différentes, savoir, lorsque E arrivera les nombres de fois [x, fx, — 1, /x. — 2,... et eufin fx. — ou m ; les probabilités relatives à ces m - 1 manières se déduiront de l’expression précédente de n, en mettant successivement fx, et zéro, u — 1 et 1, /x. — 2, et 2 ,.. . jusqu’à m et n , au lieu de ces deux derniers nombres ; d’après la règle du n° 10, la valeur complète de P sera donc la somme de ces n - f- 1 probabilités partielles; et, par conséquent, on aura P = ^+ fxp^~'q+ *JL=-L pT-Zf +.. . _ 1 _ 1 „ . . 1 . 2 . 3 ... n P ? » de sorte que P sera la somme des n - f- 1 premiers termes du développement de p - f- qY , ordonné suivant les puissances croissantes de q. Pour m = o, ou n = fx , on aura p = p + qY — i ; ce qui doit être, en effet, puisqu’alors l’événement composé comprenant toutes les combinaisons de E et F qui peuvent arriver, sa probabilité P doit être la certitude. Pour m = 1., cet événement est le contraire de l’arrivée de F à toutes les épreuves; et, effectivement, la valeur de P est, dans ce cas, le développement entier de p -f- qt* , moins son dernier terme q^; ce qui s’accorde avec la valeur de /• du 11“ 8. Si /x. est un nombre impair 21+ 1, et si l’on demande la probabilité que E arrivera plus souvent que F, on la déduira de l’expression générale de P, en y faisant m = 1 + 1 et n = t. Si p. est un nombre pair 2i, on obtiendra la probabilité que E arrivera au moins autant de fois que F, en faisant m = n = i, dans cette même expression. 16 . On déduit aussi de cette formule la solution du premier pro- 55 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. blême de probabilité que l’on ait-résolu , que nous avons indiqué au commencement de cet ouvrage, et qui est connu l sous le nom de problème des partis. Deux joueurs A et B jouent ensemble à un jeu quelconque, où l’un des deux doit gagner un point à chaque coup; p est la probabilité de A, q celle de B, pour gagner ce point; il reste à A un nombre a et à B un nombre b de points à prendre pour gagner la partie. On demande la probabilité et que ce sera A qui gagnera, ou la probabilité ë que ce sera B. L’un de ces deux événements contraires devant nécessairement arriver, la somme et ë sera l’unité, et l’on aura seulement a à déterminer. Observons d’abord que la partie sera terminée en un nombre de coups qui ne saurait excéder a-\~b — i ; car dans ce nombre de coups, il arrivera nécessairement que A aura gagné au moins un nombre a de points, ou que B en aura gagné au moins un nombre b. De plus, sans rien changer à leurs chances respectives de gagner la partie, les deux joueurs peuvent convenir de jouer ce nombre a -{- b — 1 de coups; cardans cette série de coups, un seul joueur pourra prendre le nombre de points dont il a besoin selon que A aura pris a points avant que B en ait pris b , ou que B en aura pris un nombre b avant que A en ait pris a , ce sera A ou B qui aura gagné la partie, quelque chose qui arrive ensuite. Pour déterminer les chances a et ë, nous pouvons donc supposer qu’il sera toujours joué le nombre a - f- b — i de coups. Alors et sera la probabilité que sur ce nombre d'épreuves, un événement E dont la chance est p à chaque épreuve, arrivera au moins un nombre de fois a; par conséquent, sa valeur se déduira de l’expression précédente de P, en y faisant p. — a b — i, m = a, n = b — 1. Si l’on a r par exemple, on trouvera _ I 12 g _ 1 31 “ — 6 — Ï43 ; et ë surpassant et, il s’ensuit qu’un joueur A dont l’habileté est double 56 RECHERCHES de celle de B, ou qui a une chance double de gagner chaque point, ne peut néanmoins parier, sans désavantage, de gagner quatre points avant que B en ait pris deux. Si les deux joueurs conviennent de se retirer sans achever la partie, on verra plus loin que ce qui reviendra à A sera Yenjeu multiplié par la chance a de gagner, et à B le produit de l’enjeu et de la chance £, c’est-à-dire qu’ils devront partager l’enjeu proportionnellement aux fractions a et ë. 17. Au lieu de deux événements E et F, supposons qu’il y eu a un plus grand nombre, trois, par exemple, que nous désignerons par E, F, G, et dont un seul devra arrivera chaque épreuve. Soient p, q, r, leurs probabilités constantes, et p. le nombre des épreuves. Par une extension facile de la méthode du n* 14, on trouvera . . . fc .p m q n r° n. 1 . 2 ,3 ...0 * pour la probabilité que le premier des événements E, F, G, arrivera m fois, le second n fois, le troisième o fois. On aura, en même temps, /’+? + ' = I, U2 + + O = 74; et la probabilité dont il s’agit sera le terme général du développement du trinôme p - f- q - f- r élevé à la puissance p. Ce cas est celui d’une urne qui renfermerait des boules de trois couleurs différentes, dans les proportions marquées par les fractions p, q, r, et où les événements E, F, G, seraient les extractions de ces trois sortes de boules, en remettant à chaque fois dans l’urne la boule qui en est sortie. En prenant dans le développement de p -\-q-\- r/*, la somme des termes qui renferment une puissance de p, égale ou supérieure à m, on aura la probabilité que E arrivera au moins un nombre m de fois dans un nombre p d’épreuves. Quel que soit le nombre des événements E, F, G, etc., parmi lesquels un seul arrivera à chaque épreuve, on peut aussi déduire immédiatement cette probabilité, de l’expression précédente de P. En effet, représentons toujours par p, q , r, etc., les chances constante» do E, F, G, etc.; à chaque épreuve, l’arrivée de l’un ou l’autre des événements E, F, G, etc., peut être considérée SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5 7 comme un événement composé, que j’appellerai F'; en désignant par q' sa probabilité, on aura q' = q + r + etc., p + q' = I ; E et F' seront alors deux événements contraires, dont un seul aura lieu à chaque épreuve; par conséquent, la probabilité que E arrivera au moins m fois, dans une série de fx. épreuves, s’obtiendra en mettant q' au lieu de q dans l’expression de P. • Pour donner un exemple de cette règle fondée sur le développement delà puissance d’un polynôme, je suppose qu’une urne A renferme un nombre m de boules portant les n OJ i, a, 3,.. . m; on tire x. fois de suite une boule de cette urne, en y remettant à chaque fois la boule sortie; la chance, à chaque tirage, de l’arrivée d’une boule portant un numéro déterminé, est la même pour toutes les boules, constante pendant les épreuves, et égale à cela étant, désignons „ par n,, n t , n 3 ... n m , des nombres donnés qui peuvent être zéro, égaux, inégaux, pourvu qu’on ait toujours n i + n * + n 3 • m = et soit U la probabilité qu’on amènera, dans un ordre quelconque, n, fois le n° i, n t fois le n° a,. . . n m fois le n° m si l’on fait G + t% + t 3 ... + ?„ ,'* = 6, et que. l’on développe 0 suivant les puissances et les produits des ^ indéterminées t t , t t t m , la valeur de Usera le terme de ce développement, contenant le produit t, n t 3 s ... dans lequel on fera toutes ces indéterminées égales à En représentant par N le coefficient numérique de ce produit, nous aurons donc N étant un nombre entier, qui dépendra de fx. et des nombres n,, n % , Wj y • • * • Tijj y savoir, N _ _ .fi _ i n t . 3 .. . 8 58 RECHERCHES où l'on prendra l’unité pour le produit 1 . 2 .5...n,, quand n, sera zéro, et de même pour chacun des produits semblables. Cela posé, soit s la somme des numéros sortis dans les u tirages, on aura s — n i ~ h 2 n % - j- 3 n s - f* .. . -f- Ttin m . Par conséquent, si s est un nombre donné j que l’on prenne successivement pour n t , n % ,.. . n m , tous les nombres entiers ou zéro qui satisfont à cette équation et dont la somme est égale à fx; et que Ion désigne par N', N", N w , etc., les valeurs correspondantes de N, et par V la somme de celles de U, il en résultera V = — N' + N* + N"'-f- etc., pour la probabilité d’avoir, dans un nombre fx de tirages , une somme de numéros donnée et égale à s. On calculera plus aisément la valeur de V en changeant dans G les indéterminées t lt t a , t n , dans les puissances ,t, t*, t 3 ... t m , d’une même quantité t si l’on désigne par T ce que G deviendra, on aura et il est aisé de voir que la somme N'-j-N ,, +N' ,, -f-etc. ne sera autre chose que le coefficient numérique de t dans le développement de T; par conséquent, si l’on représente ce coefficient par M,, il en résultera Ce coefficient M, dépendra des nombres donnés fi,m, s , et s’obtiendra facilement dans chaque exemple. Au lieu d’une seule urne V, on peut supposer qu’on ait un nombre fx d’urnes A,, A s , A 3 ,.. .A^, dont chacune contienne m boules numérotées 1 , 2 , 3et tirer en même temps une boule de chacune de ces urnes. On peut aussi remplacer ces urnes par un pareil nombre de dés s’il s’agit de dés ordinaires, à six faces, portant les n“ 1 , 2 , 3, 4? 5,6, ou aura m — 6, et V exprimera la probabilité qu’en projetant simultanément un nombre fx de dés , on amènera une SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. 5 g somme de nume'ros égale à s . Soit, par exemple, tt = 3 , et conséquemment T = t 3 {i + t + t 3 + t* + * 5 3 , V = ^ M,. L e développement de T se composera de seize termes ; les coeffi cients des termes également éloignés des extrêmes, tels que M 3 et M i8 , M 4 et M,„ .. .M I0 et M„, seront égaux; la somme de tous les coefficients aura pour v valeur celle de T qui répond à t = i, ou 6 3 ; la somme des huit premiers coefficientsM 3 , M 4 ... , M I0 , sera égale à £6 3 , ainsi que la somme des huit derniers M„, M„. . . M l8 ; d’où l’on conclut qu’en projetant trois désa\& fois, la probabilité d’amener io ou un nombre m oindre est ^, comme celle d’amener 11 ou un nombre plus grand ; en sorte qu’o n peut parier à jeu égal, ou un contre un, que la somme des trois numéros qui arriveront passera ou ne passera pas le nombre dix. C’est sur ce résultat qu’est fondé le jeu qu’on appelle le passe-dix. Sans le secours d’aucun calcul, on s’assure aisément de l’égalité de chance de chacun des deux joueurs, en observant que chaque couple de faces opposées d’un même dé, porte les numéros dont la somme est sept, tels que un et six, deux et cinq, trois et quatre. Il s’ensuit alors, que quand les trois dés tombent sur le tapis , la somme des trois numéros supérieurs, jointe à celle des trois numéros inférieurs, forme toujours le nombre 21; par conséquent, si la première somme est au-dessus de d ix, la seconde sera au-dessous et réciproquement. Les deux joueurs sont donc dans le même cas que si l’un pariait que ce sont les numéros supérieurs qui passeront dix, et l’autre que ce sont les numéros inférieurs. Or, il est évident que les chances de ces deux événements seront égales; car quels que soient les trois numéros qui arriveront au-dessus et ceux qui arriveront au-dessous, l’événement contraire, c’est- à-dire l’arrivée de ceux-ci au-dessus et de ceux-là au-dessous, sera également possible. Mais pour connaître les chances des diverses valeurs de s , depuis s = 3 jusqu’à s = 18, il est nécessaire de recourir au développement de T. On trouve, en l’effectuant M 3 =M, 8 = i, M 4 =M„= 3 , M s =M„=6 , M 6 =M i5 = 10, M, = M i4 =i 5 , M 8 =M i3 =2 i, M 3 =M„= 2 5 , M io =M„=2 7 , 8 .. 'Vf'' 60 RECHERCHES * pour les nombres des combinaisons de trois numéros qui peu- 1 vent amener les sommes 3 ou 18, 4 ou i7>...io ou 11 en les divisant par 6 S ou 216, on aura les chances de ces diverses som- f mes. 18. Lorsque la chance de l’événement E varie pendant la durée des épreuves, la probabilité de sa répétition un nombre de fois donné, dépend de la loi de cette variation. Supposons, comme dans le n° 9, que E soit l’extraction d’une boule blanche, tirée d’une urne A qui contient des boules de cette couleur et des boules noires, et dans laquelle on ne remet pas la boule sortie à chaque tirage. Soient a et b les nombres de boules blanches et de boules noires que A renfermait avant les épreuves, /-c. le nombre des tirages, et ^="748, x = 8t43,i5... La loterie aurait donc dû payer au gagnant, pour que le jeu fût égal, 11748 fois sa mise elle lui payait seulement 55 oo fois, c’est-à- dire, moins de moitié. La disproportion était encore plus grande dans le cas du quateme et du quine; elle était moindre pour Yambe et Yextrait. Il y avait de l’avantage à parier un contre un, qu’un terne donné sortirait au moins une fois en 8144 tirages, et du désavantage à parier aussi un contre un, qu'il sortirait en 8143 épreuves. Relativement à un numéro désigné d’avauce, on aurait x l0g-3 log. 18 — log. 17 12,137....; il y avait donc désavantage à parier un contre un que ce numéro sortirait au moins une fois en 12 tirages, et il aurait fallu i 5 tirages, pour qu’il fût avantageux de parier un contre un que ce numéro sortirait. Il y avait aussi un contre un à parier que les 90 numéros sortiraient au moins une fois en 85 ou 84 tirages *. Parmi les joueurs, les uns choisissaient des numéros parce qu’ils n’é- {* Théorie analytique des probabilités ; page 198. RECHERCHES 70 taient pas sortis depuis long-temps, d’autres choisissaient, au contraire, ceux qui sortaient le plus souvent. Ces deux préférences étaient également mal fondées quoique, par exemple, il y eût une probabi- lité très approchante de la certitude et égalé a 1— [tqJ 5 ou à peu près 0,997,qu’un numéro déterminé sort irait au moinsune fois dans 100 tirages successifs ; si cependant, il ne fût pas sorti dans les 88 premiers, la probabilité de sa sortie dans les 12 derniers aurait toujours été à peu près l -, comme pour tout autre numéro déterminé. Quant aux numéros dont la sortie avait été plus fréquente que celle des autres, cette circonstance ne devait être considérée que comme un effet du hasard, compatible avec l’égalité évidente de chance de tous les numéros à chaque tirage. A tous les jeux de hasard où les chances égales ou inégales sont connues d’une manière certaine, les événements passés n’ont aucune influence sur la probabilité des événements futurs, et toutes les combinaisons que les joueurs imaginent ne peuvent augmenter le gain ni diminuer la perte, qui résultent de ces chances d’après la règle du numéro précédent. Dans les jeux publics de Paris, l’avantage du banquier à chaque coup est peu considérable au jeu de trente-et -quarante par exemple, il est un peu au-dessous de onze millièmes de chaque mise *; mais à raison de la rapidité de ces jeux et du grand nombre de coups qui se jouent en peu d’heures, il en résulte pour le banquier des bénéfices assurés, à peu près constants chaque année, et sur lesquels il peut payer annuellement cinq à six millions à l’administration publique, qui lui en concède le monopole. Ils sont encore plus préjudiciables que la loterie ne pouvait l’être ; car l’argent qu’on y joue dans la capitale seulement s’élève chaque année à plusieurs centaines de millions, et surpasse de beaucoup celui que l’on mettait à la loterie dans la France entière. Ce n’est pas ici le lieu de discuter les raisons que l’on a coutume de donner pour la conservation des jeux publics , je n’ai jamais pu les trouver bonnes; et il devrait suffire que ces jeux fussent la cause de beaucoup de * Voyez sur les chances de ce jeu, le me'moire que j’ai insère' dans le journal de tome XVI, n° 6 ; décembre 1825. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ;i malheurs et peut-être de crimes, pour que l’administration les interdit au lieu de partager les bénéfices qu’ils procurent, avec les hommes auxquels elle en vend le privilège *. a 3 . Le produit d’un gain et de la probabilité de l’obtenir est ce qu’on appelle Y espérance mathématique de chaque personne intéressée dans une spéculation quelconque. Si ce gain est 60,000 fr., par exemple, et que ^ soit la chance de l’événement auquel il est attaché, la personne qui devra recevoir cette somme éventuellement, pourra considérer le tiers de 60,000 fr., comme un bien qu’elle possède, et que l’on devrait comprendre dans l’inventaire de sa fortune actuelle. En général, si quelqu’un doit gagner une somme g à l’arrivée d’un événement E, une somme g'à l’arrivée d’un autre événement E', etc., et que les chances de ces événements soient p , p', p", etc., son espérance mathématique aura pour valeur la somme gp-\-g'p’ -j-g'p* + etc. Lorsqu’une ou plusieurs des quantités g , g ', g", etc., exprimeront des pertes que cette personne aura à craindre, on leur donnera le signe — dans cette somme, eu conservant le signe -f- à celles qui sont des gains éventuels. Selon qtie la valeur totale de l’espérance sera positive ou négative, elle représentera une augmentation ou une diminution du surplus de la fortune, et devra être comprise actuellement parmi les créances ou les dettes, si l’on ne veut pas attendre l’issue des événements. 11 est bien entendu que quand les gains ou pertes ne devront avoir lieu qu’à des époques éloignées de celle que l’on considère, il faudra les escompter pour les convertir en valeurs actuelles, indépendamment de leur éventualité. Si g ne doit être payé, à la personne dont on évalue la fortune, que dans un nombre n d’années, g' dans un nombre n', etc., ces quantités valent aujourd’hui g , g', g", etc., divisées respectivement par les puissances n, n 1 , n", etc., de 1 + 0 , en désignant par S le taux de l’intérêt annuel. Par conséquent, si l’on appelle e la partie de cette fortune qui résulte de l’es- {* Ce numéro de mon ouvrage était écrit avant que la dernière loi de finance eût heureusement prohibé les jeux de hasard à partir du 1 " janvier i838. 72 RECHERCHES pérance mathématique de celte personne, on aura e ==-£_ + J'P' . 4. etc Pour se charger des gains et pertes que les événements amèneront, g est la somme qu’une autre personne devrait payer aujourd’hui à celle-là, ou recevoir d’elle, selon que cette quantité g est positive ou négative. Le calcul des rentes viagères sur une ou plusieurs têtes, des assurances sur la vie, des pensions, est fondé sur cette formule et sur les tables de mortalité , ainsi qu’on peut le voir dans les ouvrages qui traitent spécialement de ces questions. 24 . Comme l’avantage qu’un gain procure à quelqu’un dépend de l’état de sa fortune, on a distingué cet avantage relatif, de l’espérance mathématique, et on l’a nommé espérance morale. Lorsqu’il est une quantité infiniment petite, on prend §GQ rapport à la fortune actuelle de la personne, pour la mesure de l’espérance morale, qui peut d’ailleurs être positive ou négative, selon qu’il s’agit d’une augmentation ou d’une diminution éventuelle de cette fortune. Par le calcul intégral, on déduit ensuite de cette mesure des conséquences qui s’accordent avec les règles que la prudence indique sur la manière dont chacun doit diriger ses spéculations. On a aussi trouvé, dans les résultats de ce calcul, des raisons de ne pas jouer, même à jeu égal, qui ne sont peut-être pas les meilleures que l’on puisse donner. L’argument sans réponse contre le jeu, quand il a cessé d’être un simple amusement, c’est qu’il ne crée pas de valeurs, et que les joueurs qui gagnent ne peuvent trouver leur avantage que dans le malheur et quelquefois la ruine de ceux qui perdent. Le commerce est aussi un jeu, en ce sens que le succès des spéculations les plus prudentes, n’a jamais qu’une forte probabilité, et qu’il reste toujours des chances de perte que l’habileté et la prévoyance peuvent seulement atténuer; mais il augmente la valeur des choses par leur transport d’un lieu dans un autre ; et c’est dans cet accroissement de valeur que le commerçant trouve son bénéfice, en procurant aussi un avantage aux consommateurs. 25 . La règle du n° 21, quelque simple et naturelle qu’elle soit, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 7 3 donne lieu cependant à une difficulté dont on s’est autrefois beaucoup occupé. Deux personnes A et B jouent à croix et pile; les conditions du jeu sont i°. que la partie se terminera lorsque croix arrivera; 2». que B donnera à A deux francs si croix arrive au premier coup, quatre francs s’il arrive au deuxième coup,... et généralement 2" francs si croix arrive au n Umt coup; 3 °. que la partie sera nulle si croix n’arrive pas dans les m premiers coups, limitation sans laquelle la partie pourrait être interminable. On suppose que la pièce n’a aucune tendance à retomber plutôt sur une face que sur l’autre, de sorte qu’à chaque coup, la chance d’amener croix soit ^ comme celle d’amener pile. Il s’ensuit que ^ sera la probabilité que croix arrivera au ''"'coup sans qu’il ait paru auparavant; car, pour cela, il faudra qu’on amène pile n — 1 fois de suite, ce qui a pour probabilité ; et que l’on amène croix au coup suivant, autre événement dont la probabilité est^. Par conséquent, la probabilité que croix arrivera au n iim coup pour la première fois, aura le produit de et de ou pour valeur. Dans ce cas, A recevra 2* francs; ce qui donne un franc pour la valeur correspondante de son espérance mathématique; et comme elle est la njême pour chacun des m coups dont la partie peut se composer, il s’ensuit que la valeur entière de l’espérance mathématique de A sera un franc répété m fois. Pour que le jeu fût égal, A devrait donc donner m francs à B, c’est-à-dire mille francs, un million de francs, si la partie pouvait durer jusqu’à mille coups, un million de coups, et même une somme infinie, si elle pouvait se prolonger indéfiniment. Cependant, il n’y a personne qui exposât une somme un peu considérable, mille francs par exemple, à un pareil jeu. Ici la règle de l’espérance mathématique parait donc en défaut; et c’est pour lever la difficulté que nous signalons, que 1 on a imaginé la règle de l’espérance morale et sa mesure. Mais on doit remarquer que cette difficulté tient à ce que, dans les conditions du jeu, on a fait abstraction de la possibilité pour B, de payer toutes les sommes que les chances du jeu pourront valoir à A. 10 7 4 RECHERCHES Quelle que grande qu'on la suppose, la fortune de B est nécessairement limitée; si donc on la désigne par un nombre b de francs, A ne pourra jamais recevoir une somme plus grande que b ; ce qui diminue, dans un très grand rapport, son espérance mathématique. En effet, on aura toujours b — a c i + h ; £ étant un nombre entier, et h une quantité positive et plus petite que l’unité. Si l’on a £ > m, ou seulement £ = m, B pourra payer toutes les sommes qui échoiront à A ; mais dans le cas de £ P% Ps 1 • • -P* 5 • • -Pt* 5 les probabilités connues de son arrivée, relatives à ces diverses causes ; de manière que p n exprime la probabilité de E qui aurait lieu si la cause C„ était unique, ou, ce qui est la même chose, si elle était certaine, ce qui exclurait toutes les autres. Désignons ensuite par D r & r m , . • •'©' m , 4 les probabilités inconnues de ces mêmes causes ; en sorte que soit la probabilité de la cause C„, ou, autrement dit, la probabilité que c’est à cette cause qu’est due l’arrivée de E. Il s’agira de prouver qu’on doit avoir Pn Or, quel que soit l’événement E, on peut l’assimiler, pour fixer les idées, à l’arrivée d’une boule blanche, extraite d’une urne qui contenait des boules de cette couleur et des boules noires. On supposera, pour cette assimilation, qu’il y avait un nombre m de semblables urnes Ai ? A, j A3, •.. A.,.. • A m , dont la boule blanche a pu sortir, et telles que dans l’urne quelconque A„, le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules, soit égal à la fraction p u . Chacune de ces urnes sur lesquelles la main a pu se porter au hasard pour en extraire la boule blanche, représente une des causes de son arrivée ; l’urne A, répond à la cause C, ; et la question consiste à déterminer la probabilité que la boule blanche est sortie de A a . Pour cela, supposons que l’on réduise les fractions p t , p it pa> etc., au même dénominateur, et que l’on ait ensuite P> = P • *n P m = 83 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. pL et les numérateurs a,, etc., étant des nombres entiers. On ne changera rien à la chance de tirer une boule blanche de l’urne A., en y remplaçant les boules quelle contient, par un nombre a. de boules blanches et un nombre [z de boules, tant blanches que noires; et de même pour toutes les autres urnes. Le nombre total des boules étant actuellement le même dans toutes ces urnes, il résulte du lemme du n° 10, que si on les réunit dans une même urne A, et que l’on donne le n“ i à celles qui proviennent de A,, le n° 2 aux boules provenant de A a , etc., la probabilité fsr a qu’une boule blanche extraite de l’ensemble de ces urnes A,, A»,  3 , etc., provient de A„, est la même que la probabilité qu’une boule blanche sortie de A, portera le n n ; laquelle a pour valeur le rapport de a, à la somme des m quantités a,, a a ', a 3 , etc., puisque cette somme est le nombre total des boules blanches qui seront contenues dans A, et que dans cette somme, il y en aura un nombre a. qui portera le n n. On aura donc aussi “ a, - J- -J- a 3 - f- . . . -J- c$ n . .. -f- m ’ quantité qui coïncide, en vertu des équations précédentes’, qvec l’expression de qu’il s’agissait de démontrer. 29. En calculant les probabilités de plusieurs événements successifs, il faut non-seulement tenir compte de l’influence que peut avoir l’arrivée de l’un d’eux sur la chance de celui qui le suit n° 9 ; mais on doit aussi quelquefois avoir égard , dans l’évaluation de cette chance , aux probabilités des diverses causes de l’événement précédent, ou des différentes manières dont il a pu avoir lieu. C’est ce qu’on verra, par exemple, dans le problème suivant. Je suppose qu’on ait un nombre m d’urnes A, B, C, D, etc., contenant des boules blanches et des boules noires, et que les chances d’extraire une boule blanche soient a , de l’urne A, b de B, c de C, etc. On tire au hasard une première boule de l’une dé ces urnes, puis une seconde boule de l’une des urnes d’où la première n’est pas sortie, puis une troisième de l’une des urnes d’où les deux premières ne sont pas sorties, etc., c’est-à-dire, qu’après chaque tirage, on supprime l’urne d’où la boule a été extraite. On demande la probabilité d’amener, de RECHERCHES 84 cette manière, un nombre n de boules blanches, dans un pareil nombre de tirages; n étant moindre que m ou égal à m. Faisons, pour abréger, T jci —{— b * 4 “ c " f - d -J- etc. — s t , ab ac - f- ad - bc - f- bd - f- cd-\- etc. — s % , abc + abd + bcd + etc. = s s , abcd - f- etc. = s 4 , etc. ; de sorte que s, soit la somme des fractions a, b, c, d, etc., que s % représente la somme de leurs produits deux à deux dont le nombre est —que s î désigne la somme de leurs produits trois à trois dont t. m 2^ L a probabilité d’amener une boule le nombre est 1 . blanche au premier tirage, sera ^ s,. Si la boule blanche ou noire, extraite à ce tirage, est sortie de A, la probabilité d’amener une boule blanche au second tirage aura — ~ s,— a pour valeur; cette probabilité sera m ^ s, — b, si la première boule est sortie de B ; elle sera - s t — c , si la première boule a été extraite de C; et ainsi de suite. De là et des règles des n” 9 et 10, on conclut •? — * _i_ c *'~* . >*— c m — 1 +- etc., pour la probabilité complète de l’arrivée d’une boule blanche au second tirage; a étant la probabilité que la boule extraite au premier est sortie de A, £ la probabilité qu’elle est sortie de B, y qu’elle est sortie de C, etc. Or, ces probabilités a, C, y, etc., ne sont point égales entre elles * d’après ce qu’on a vu dans le numéro précédent, on a a • a =7’ A b C 6 — — , y — — , etc. ; * Faute d’avoir eu égard à cette circonstance, la solution de ce problème qui se trouve dans le n° 17 de mon mémoire sur la proportion des naissances des deux sexes, est inexacte, et j’en ai déduit une fausse conséquence. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 85 on a aussi, identiquement, — a-\-b s, — b - h cs, — c -f- etc. = 2 s t ; la probabilité d’amener une boule blanche au second tirage deviendra donc;——. De même, la probabilité d’amener une boule blanche m— is, au troisième tirage sera s,—a — b , si les deux boules blanches ou noires, extraites dans les deux premiers tirages, sont sorties de A et B; cette probabilité sera ^,— a —c, si ces deux boules ont été extraites de A et C ; et ainsi de suite. Donc la probabilité d’amener une boule blanche au troisième tirage, aura pour valeur complète ’ g {s, —a — b h *, — a — c h *, — b — c j m— 2 m —2 ' m —2 ’ g, h, k, etc., désignant les probabilités que les boules extraites dans les deux premiers tirages sont sorties de A et B, de A et C, de B et C, etc. ; lesquelles probabilités sont, d’après le numéro précédent, ab 7 ac , bc S = T, • • 'P n> • • ’P m f les chances de E' relatives à ces diverses causes, de sorte que p' n soit la probabilité donnée que E' arriverait si la cause C„ était certaine ; cette cause étant seulement probable, et sa probabilité ayant été représentée par fsr u , l’arrivée de E' en vertu de cette cause, sera un événement composé dont la chance aura pour expression le produit de ces deux probabilités n° 5. De plus, la probabilité complète de E' sera la somme des chances relatives aux m manières différentes dont cet événement peut avoir lieu n° 10 , c’est-à-dire, la somme des valeurs de p\ ou bien, en mettant pour' 1 ,, , etc., leurs valeurs, tsr' — P'P'* + P 'P' + • • • + P*P* H- . . . +Pmp'm Pi +p 1 + • • • +Pn + • • • +Pm SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 87 Telle est la formule qui sert à calculer la probabilité des événements futurs, d’après l’observation des événements passés. On parvient aussi à la même expression, sans l’intermédiaire des causes communes à E et E', en les considérant comme deux événements composés qui dépendent d’un même événement simple; les raisonnements qui nous y ont conduits, s’appliqueraient également à cette autre manière d’envisager la question; mais on peut, si l’on veut, la faire rentrer immédiatement dans la précédente. En effet, si E et E' sont deux événements composés d’un même événement G, et que G soit susceptible de différentes chances §t > £>» > •*•§»> • * • §m , toutes également probables avant que l’événement E ait été observé, on pourra les considérer comme autant de causes distinctes de E et de E'; en prenant donc g» pour la cause que l’on a appelée précédemment C„, la probabilité de g„ sera la valeur de et à cause de 2 n{n — i _ m— î mm + i 9 on en conclura La probabilité d’extraire une boule blanche d’une urne, d’où il est déjà sorti une boule de cette couleur que l’on n’y a pas remise, est donc indépendante du nombre m de boules blanches ou noires que l’urne renfermait, et toujours égale à La valeur de '• = t , p', = r, p's = l; par conséquent, sa probabilité complète aura pour valeur zr' de l’arrivée d’une nouvelle boule blanche a eu pour valeur très approchée, le rapport du nombre des boules blanches sorties de B au nombre total des épreuves, et que, dans chaque cas, ce rapport a aussi été, avec une probabilité très approchante de la certitude, celui du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, c’est-à-dire la chance propre de l’extraction d’une boule blanche de cette urne. On verra effectivement, dans la suite, que quand un événement, d’une nature quelconque, a été observé un certain nombre de fois, dans un très grand nombre d’épreuves, le rapport du premier nombre au second est la valeur très probable et très approchée de la chance connue ou inconnue de cet événement. Dans l’exemple que nous considérons, cette chance ne pouvant être que - , ^il s’ensuit que les valeurs ^, 2 j j 2 j 3 sont aussi les seules qu’on doive supposer, avec vraisemblance, quand x et n sont de très grands nombres. 34. Nous avons supposé, dans ce qui précède, qu’avant l’arrivée de E toutes les causes C,, C,, C s , etc., auxquelles on peut attribuer cet événement étaient également possibles; mais si l’on avait à priori 94 RECHERCHES quelque raison de croire plutôt à l’existence de l’une de ces causes qu’à celle d’une autre, il serait nécessaire d’avoir égard à cette inégalité des chances de C,, C a , C 3 , etc., antérieures à l’observation, dans l’évaluation des probabilités que ces diverses causes ont acquises après l’arrivée de E. Cette nécessité est un point important de la théorie des probabilités, surtout dans la question relative aux jugements des tribunaux, ainsi qu’on l’a expliqué dans le préambule de cet ouvrage. La démonstration du n° 28 est d’ailleurs facile à étendre au cas général où les causes de E avaient, antérieurement à l’observation, des probabilités quelconques dont les valeurs sont données. En effet, comme dans ce numéro, remplaçons l’événément E par l’extraction d’une boule blanche qui a pu sortir de l’une des urnes A,, A,, Aj, etc., et supposons d’abord que la sortie de chacune d’elles a été également possible pour toutes. La probabilité qu'elle est sortie de l’urne A» sera -, en désignant toujours par p„ le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans A., et étendant la somme 2 à toutes les urnes A,, A„ A 3 , etc. Pour d’autres urnes A„,, A.», etc., comprises parmi celles-là, cette probabilité sera de même —, —, etc. ; d’après la règle du n° 10, la probabilité que la Zpm ^-Pn boule blanche est sortie de l’une des urnes A,, A»,, A,„, etc., sera la somme P *Pn EïL 4. 4. etc., •z Pn ^ n ^ qui se réduira à l’une de ces fractions multipliée par leur nombre, lorsque les quantités p m , p n >, p .„, etc., seront égales entre elles. Cela étant, concevons que les urnes A,, A,, A 3 , etc., se composent d’un nombre a, d’urnes A, dans chacune desquelles p , soit le rapport de la quantité de boules blanches à celle des boules blanches ou noires , d’un nombre a t d’urnes A, dans lesquelles ce rapport soit p % .... et enfin d’un nombre a, d’urnes A ; où ce même rapport soit pp, de manière que i exprime le nombre de ces groupes d’urnes semblables, et qu’en appelant s le nombre de toutes les urnes, nous ayons { - CLy “ 1— d t - f- Cl “f- .... “f“ di. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 9 5 La somme 2 p u étendue à toutes les urnes pourra être remplacée par celle-ci 1a n p m qui s’étendra à tous les groupes, ou à toutes les valeurs de l’indice n , depuis = x jusqu’à n— i. Si donc les urnes A., A.' , A„», etc,, forment un des groupes et sont en nombre a m , la probabilité que la boule blanche extraite de l’une des s urnes, soit sortie de ce groupe, aura pour valeur le rapport Pn multiplié para.; en sorte qu’en la désignant par PmP' a Supposons que E' soit aussi observé après E. Soit E' un troisième événement dépendant toujours des mêmes causes ; et désignons par p r m , la chance que la cause C„ si elle était certaine, donnerait à l’arrivée future de E". La probabilité de cette cause était P> q*Pi + i5 3? pour la probabilité de la première hypothèse, après l’observation ; de manière qu’au lieu de deux contre un, il y a, au contraire, moins de un contre un, et seulement i 5 contre 16 à parier que la carte inconnue est rouge comme celle qui a été retournée. Cette valeur de zr, se vérifie immédiatement; car il est évident que la question est la même que si, après avoir tiré une carte rouge du jeu entier, on demandait la probabilité de tirer encore une carte rouge des 3 i cartes restantes et qui n’en contiennent plus que i 5 de cette couleur. En général, si l’on a un tas de m cartes dont a rouges et b noires, que l’on y prenne au hasard un nombre n de cartes, et qu’en retournant un nombre n — t de celles-ci, ou en trouve a rouges et b' noires, on obtiendra, par la règle précédente, a — a m — n - J- 1 ’ 'S\ = b —b’ m — n 1 ’ pour la probabilité a r, que la ri im carte est rouge, et pour la probabi i3 RECHERCHES 9 8 lité j ou p la différence est nulle et le témoignage ne change rien à la probabilité antérieure, dans le cas de p — \, où il y a un contre un à parier que le témoin dit ou ne dit pas la vérité. Lorsque, à priori , on n’a aucune raison de croire plutôt à la vérité qu’à la fausseté du fait que le témoin atteste, la probabilité q est il s’ensuit r=p ; et, dans ce cas, la probabilité que le fait est vrai, ne dépend plus que de la véracité et des lumières du témoin, , Oyi ne peut pas supposer que l’une des deux quantités petq soit l’unité et l’autre zéro; mais si p approche beaucoup de la certitude et que q approche encore plus de l’impossibilité, de manière que le rapport de q à i— p soit une très petite fraction, la probabilité r sera aussi très petite, et à peu près égale à ce rapport. C’est le cas d’un fait contraire aux lois générales de la nature, et attesté par un témoin auquel on accorderait, sans cette opposition, un grand degré de confiance. Ces lois générales sont pour nous le résultat de longues séries d’expériences; ce qui leur donne, sinon une certitude absolue, du moins une très forte probabilité, encore augmentée par l’harmonie qu’elles présentent, et qu’aucun témoignage ne saurait balancer. Sr donc le fait attesté est contraire à ces lois, la probabilité qu’il n’est point inexact sera à très peu près nulle avant le témoignage ; et en supposant même le témoin de bonne foi, il suffira qu’il ne soit point infaillible pour que sa chance d’erreur i —p soit extrêmement grande par rapport à cette probabité antérieure q , et que la probabilité r, après le témoignage, puisse encore être considérée comme insensible. En pareil cas, il serait raisonnable de rejeter notre propre témoignage, et de penser que nous sommes trompés par nos sens qui nous présenteraient comme vrai, quelque chose de contraire aux lois de la nature. 57. Supposons que le fait dont nous venons de considérer la probabilité, soit aussi attesté par un second témoin; désignons par p' la probabilité que ce témoin ne nous trompe pas, et par r' la probabilité de la vérité du fait, résultante du double témoignage; en observant 13.. 1 oo RECHERCHES que la probabilité de la vérité de ce fait était déjà r, indépendamment de la seconde attestation, on en conclura que l’expression de r' doit se déduire de celle de r, par le changement de p et q , en p' et r; ce qui donne r' — __ PL _ p' r ~ h i —P i—'O’ ou bien, en mettant pour r et i —r leurs valeurs, p __ qpp' _- qpp' + —? i —p i —p'' Si le second témoin atteste la fausseté du fait dont la vérité a été affirmée’par le premier, on remarquera qu’indépendamment du second témoignage, la probabilité que le fait est faux avait déjà i —r pour valeur, en désignant donc par r, la probabilité de la fausseté du fait, résultante des deux attestations contraires, l’expression de r, devra se déduire de celle de r du numéro précédent, par le changement de p et q, en p' et i —r, et de cette manière, on aura p' ' — '• + r^—p'V ou, ce qui est la même chose, r _ /»—/>—g _ p' l — p — q + qp O — p'' Dans le cas de p = p', cette valeur de r, se réduit à i— q; et, en effet, les deux témoignages contraires et de même poids se détruisent, et la probabilité de la fausseté du fait doit demeurer la même qu’au- paravant. On déterminera de même, sans difficulté, la probabilité qu’un fait est vrai ou faux, lorsqu’il est attesté par des témoins et niéjpar d’autres, en nombre quelconque. Si le fait est attesté par tous les témoins à la fois, l’expression de la probabilité qu’il est vrai prendra la forme suivante. Soit toujours, antérieurement à tous les témoignages, q la probabilité que le fait est vrai ; désignons par ce que devient cette proba- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. IOI bilité après que le fait a e'té attesté par un nombre quelconque x de témoins; y x —\ sera cette même probabilité, quand le fait est attesté seulement par un nombre x — i de témoins ; et si l’on représente par p avec un nombre x — i d’accents, c’est-à-dire par la probabilité que le témoin qui n’est pas compris dans ceux-ci, ne nous trompe pas, lorsqu’il atteste aussi la vérité du fait, l’expression dey x se déduira de celle de r du numéro précédent, en y mettant et Jx—x au lieu de p et q, de sorte que l’on aura J* ,i-0 ’Jx-x P^-'tyx-x + I y0*—I >I -Jx-xï La valeur dey„ sera la probabilité primitive q ; et si l’on fait successivement x = i, = 2 , = 3, etc., on déduira de cette formule r. = P 7 _ -LJ _ y = _ r a _ ptr • pi + — p »— 7 ’ py>+'—p'x 102 RECHERCHES _ _ i — c PrP,P3-• -fj-. C + I— C ’ et ces valeurs jointes à celle de jr x rendent identique l’équation donnée. On déterminera la constante c au moyen d’une valeur particulière àej z , et, si l’on veut, au moyen de celle qui répond à xz=o; en prenant alors l’unité pour le produit />,p,c 3 .. .p x , de x facteur, il en résultera y 0 — q = c;et, pour un nombre quelconque x de témoins, nous aurons ensuite y * — ? + 1 — ? M*f3“ - Px’ Relativement au témoin qui répond à l’indice quelconque i, la quantité f- est le rapport de la probabilité qu’il nous trompe à la probabilité qu’il ne nous trompe pas, de sorte qu’on a ^>1 ou pj,, f % , f 3 , etc., ne soit négative. Par une formule connue, leur produit sera égal à cos g; on aura donc _ % _. 7+ I —q COS g-’ quantité qui différera beaucoup de l’unité, quand g différera de SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io5 même de -tt. Si l’on fait g = h \/ — i , la nouvelle constante h pourra être plus petite ou plus grande que l’unité. En désignant par e la base des logarithmes népériens, il en résultera ___ . •^ 00 ~ - 1- i — q e A + e~ h ’ * et si /i ne surpasse pas l’unité, ou seulement si h n’est pas un très grand nombre, cette probabilité ne sera pas très petite. Toutefois, il sera facile de s’assurer que la première valeur de jr m , sera toujours supérieure à la probabilité q antérieure aux témoignages, et la seconde toujours inférieure. Ces formules supposent que tous les témoignages soient directs; nous examinerons tout à l’heure le cas ou un seul est direct, et tous les autres sont traditionnels. 38. Quand un témoin ne se borne point à dire qu’une chose soit vraie ou fausse, mais qu’il atteste l’arrivée d’un événement, dans un cas où il y en avait plusieurs qui fussent possibles; l’événement qu’il peut annoncer, quand il se trompe ou qu’il veut tromper, n’est point unique, et doit être seulement un de ceux qui n’ont point eu ou qu’il ne croit point avoir eu lieu; or, cette circonstance influe, comme on va le voir, sur la probabilité de l’événement après le témoignage, indépendamment de celle qu’il avait auparavant. Je suppose, pour fixer les idées, qu’une urne A renferme un nombre ft de boules, dont a , portent le n° i, a t le n° a,.. . a m le n* m, de sorte qu’on ait /m — a, -f- fl, + a 3 ... - f- a m , et que m soit le nombre de numéros différents que cette urne renferme; si une boule en est sortie, on pourra aussi faire m hypothèses différentes C,, C,, C s ,...C m , sur le numéro de cette boule; leurs probabilités avant aucun témoignage, étant désignées par q,, q % , q s , •.. q m , on aura RECHERCHES 104 et si un témoiu annonce que la boule sortie de A porte le n° n, les probabilités de ces hypothèses prendront les valeurs sur,, en admettant, toutefois, que le témoin n’ait aucune prédilection pour un numéro plutôt que pour un autre ; par conséquent, d’après la règle citée, la probabilité que ce numéro sera annoncé par un témoin qui se trompe et qui veut tromper, aura pour valeur le produit des trois fractions 1 — u, 1 — v , m 1 ~~~ . Soit que le témoin se trompe et ne veuille pas tromper, soit qu’il ne se trompe pas et veuille tromper, le témoin n’annoncera pas la sortie du n° ; car, dans le premier cas, il voudra annoncer le numéro qu’il croira sorti et qui ne sera pas le n° n, et, dans le second, il saura que ce numéro est sorti et ne voudra pas l’annoncer. De toute cette discussion et d’après la règle du n° xo, on conclut Pu = uv - f- I — u I — f m — 1 9 • SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io 5 pour la probabilité complète que l'hypothèse C„, si elle était certaine, donnerait à l’événement observé. Dans l’hypothèse C,, correspondante à la sortie d’un n" i différent de n, le témoin n’annoncera pas le n° n , s’il ne se trompe pas et ne veut pas tromper. S’il ne se trompe pas et qu’il veuille tromper, il saura que le n° i est sorti, mais il annoncera la sortie de l’un des m — i autres numéros; et la chance pour que ce soit le n° n, sera ——-; d’où il résulte ^ pour la probabilité que ce n° n sera effectivement annoncé par le témoin. S’il se trompe et qu’il ne veuille pas tromper, cette probabilité sera égale à u ^ ; car le témoin pourra croire que le numéro sorti est un des m — i numéros différents de i; il annoncera celui qu’il croira sorti; et —- sera la chance pour que n soit ce numéro. Enfin, si le témoin se trompe et qu’il veuille tromper, il faudra d’abord qu’il croie sorti de A, un des m — i numéros différents de celui qu’il annonce ; n ~— ^ sera donc la probabilité qu’il croira sorti un numéro déterminé n'; cette fraction exprimera aussi la probabilité qu’il annoncera le n° n, parmi les m —i numéros différents de ri; on aura donc 1 ^ pour la probabilité que le témoin croira sorti le n° ri et qu’il annoncera la sortie de n. La chance qui en résultera pour ce n° n d’être annoncé sera, par conséquent, la fraction m multipliée parle nombre des numéros tels que n!, que le témoin a pu croire sortis de A; lequel nombre est seulement m — 2, puisque le témoin qui se trompe et qui veut tromper, ne peut croire sorti ni le n° i qui l’est réellement, ni le n* n qu’il annonce. D’un autre côté, la probabilité de cette double erreur est le produit 1 — u 1 — v ; la probabilité que le n° n sera effectivement annoncé par ce témoin, aura donc pour valeur le produit 1— u 1 — v multiplié par la chance 1 2 . Je réunis les probabilités de cette annonce dans les trois cas distincts où elle peut avoir lieu; il en résulte io6 recherches _ui — v . ki—m m —-ï i — u I — 1 > P m —i > . w— i m— 1 ’ » pour la probabilité complète de l’événement observé, dans une des m — i hypothèses contraires à la vérité de cet événement. Cette valeur de pi est d’ailleurs liée à celle de p n par l’équation P* + m — i /> i= =i, résultante de ce que la somme des probabilités que le témoin annoncera la sortie du n° n, correspondante aux m hypothèses C,, C„ C„. ... C m , doit être égale à l’unité. Maintenant * par la règle du n° 34, nous aurons 'zr. — y Pi ?/V + S qipi ’ les sommes 2 s’étendant à toutes les valeurs de l’indice i, depuis i = i jusqu’à i = m , excepté i = n. Et comme la quantité pi est indépendante de i , et que la somme des valeurs de q t , moins celle qui répond à i = n, est t —~ 1 > l’expression de sr, deviendra [w-i w-f i-ai-Q]m-ia, après qu’on y aura substitué les valeurs de p n , q üf p if q it et multiplié son numérateur et son dénominateur par ju/n— 1 \ Ce sera donc la probabilité que le numéro n annoncé par le témoin est réellement sorti de A ; la probabilité qu’il ne l’est pas aura i — + 1 — u 1 — f]a _ [m>+i — u 1 — w]a-[i ~vu + il— a ’ pour la probabilité qu’il est effectivement sorti une boule blanche de A. On peut assimiler à ce cas particulier, celui d’un fait vrai ou faux, attesté par un témoin on prendra pour ce fait l’extraction de la boule blanche; r sera la probabilité qu’il est vrai; et son expression devra coïncider avec celle du n° 36 . Nous aurons d’abord p = uv + 1 — u 1 — v , pour la probabilité que le témoin ne nous trompe pas ; car cela peut avoir lieu parce qu’il ne se trompe pas et ne veut pas tromper, ou bien aussi parce qu’il se trompe et veut tromper, c’est-à-dire parce que entre les deux seules choses possibles, l’extraction d’une boule blanche et celle d’une boule noire, représentant la vérité et la fausseté du fait attesté, le témoin croit le contraire de ce qui est, ou dit le contraire de ce qu’il croit. La probabilité qu’il nous trompe sera, en même temps, 1 — p = 1 — vu - h 1 — uv; ce qui se déduit de la valeur de p, ou s’obtient directement en obser- 14.. io8 RECHERCHES vaut que le témoin peut nous tromper, soit qu'il ne se trompe pas et veuille tromper, soit qu’il se trompe et ne veuille pas tromper. On aura encore / “ a u jr x + laij'j ’ pour la probabilité de l’hypothèse C„; la somme 2 s’étendant à tous les indices i,depuist= 1 jusqu’à i= m, excepté i — n. On verra tout à l’heure que l’expression dey'* est indépendante de i ; et la somme des valeurs dea,, excepté a., étant x — a n , cette valeur de ,, que le choix de cette personne se portera sur E,, une autre probabilité p a qu’il se portera sur E a , etc.; il n’y aura aucune probabilité qu il doive se porter sur un des événements F,, F„, F 3 , etc. ; et ces divers événements étant les seuls possibles, il faudra qu’on ait Pi .+ P% + Ps - H etc. = i. Si les probabilités/,, p a ,p 3 , etc., sont toutes égales, leur valeur commune sera et, par conséquent, très grande relativement à p, quand le nombre total m + n des cas possibles sera très grand en lui-même et par rapport au nombre m des cas remarquables. Généralement, ces probabilités pourront être fort inégales; nous n’avons aucun moyen de les connaître ; mais il nous suffira qu’elles soient très grandes eu égard à la probabilité p; ce qui ne peut manquer d’avoir lieu, lorsque celle-ci est extrêmement petite, ou le nombre m-\-n excessivement grand, comme dans les exemples qu’on vient de citer. Tel est le principe dont nous partirons pour déterminer la probabilité de la cause C, d’après l’observation de l’un des événements E,, E,, E 3 , etc., F,, F,, F 3 , etc., ou, du moins, pour faire voir qu’elle est très grande, quand l’événement observé appartient à la première série. Supposons que E, soit cet événement. On pourra faire deux hypothèses, la première qu’il est dû à la cause C, la seconde qu’il est le ré- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 117 sultat du hasard. Si la première hypothèse était certaine, p, serait la probabilité de l’arrivée de E,; si c’était la seconde qui le fût, cette probabilité aurait p pour valeur; en appelant donc r la probabilité de la première hypothèse après l’observation, et regardant les deux hypothèses comme également probables à priori , nous aurons, par la règle du n° 28, P• 118 ment possibles augmentée, si la chance propre de chaque événement est plus petite pour ceux de la première série que pour les événements de la seconde série; diminuée, dans le cas contraire. L’harmonie que nous observons dans la nature n’est] sans doute pas l’effet du hasard ; mais par un examen attentif et long-temps prolongé, on est parvenu, pour un très grand nombre de phénomènes, à en découvrir les causes physiques qui donnent à leur arrivée, sinon une certitude absolue, du moins une probabilité très approchante de l’unité. En les regardant comme des choses E,, E a , E 3 , etc., qui présentent des circonstances remarquables, ce serait le cas où ces choses ont par elles-mêmes une assez forte probabilité, pour rendre très improbable et tout-à-fait inutile à considérer, l’intervention de la cause que nous avons appelée C. Quant aux phénomènes physiques, dont les causes nous sont encore inconnues, il est raisonnable de les attribuer à des causes analogues à celles que nous connaissons, et soumises aux mêmes lois. Leur nombre diminue au reste de jour en jour, par le progrès des sciences aujourd’hui, par exemple, nous savons ce qui produit la foudre, et comment les planètes sont retenues dans leurs orbites, connaissances que n’avaient pas nos prédécesseurs; et ceux qui viendront après nous, connaîtront les causes d’autres phénomènes, actuellement inconnues. 43;. Lorsque le nombre de causes distinctes auxquelles on peut attribuer un événement observé E est infini, leurs probabilités, soit avant, soit après l’arrivée de E, deviennent infiniment petites, et les sommes 2 contenues dans les formules des n os 3a et 34, se changent en des intégrales définies. Pour effectuer cette transformation, supposons que l’événement observé E soit l’extraction d’une boule blanche, d’une urne A qui contenait une infinité de boules blanches ou noires. On pourra faire sur le rapport inconnu du nombre de boules blanches au nombre total des boules, une infinité d’hypothèses que l’on prendra pour autant de causes distinctes de l’arrivée de E, et exclusives les unes des autres. Désignons ce rapport par x, de sorte que x soit une quantité susceptible de toutes les valeurs croissantes par degrés infiniment petits, et comprises depuis x infiniment petit, qui répond au cas où la boule extraite serait la seule boule blanche que A renfermait, jusqu’à xz=i, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ng qui répond à l’autre cas extrême où cette urne ne contiendrait que des boules blanches. Représentons aussi par X la probabilité que ce rapport, si sa valeur x était certaine, donnerait à l’arrivée de E, de manière que X soit, dans chaque question, une fonction connue de x. En considérant donc cette valeur comme une des causes possibles de E, il s’agira de déterminer la probabilité infiniment petite de x, soit quand toutes ces causes sont également probables avant l’observation, soit quand elles ont, à priori , des chances différentes. Dans le premier cas, la probabilité demandée se déduira de la quantité etc., les valeurs de sb relatives à toutes celles de X. En faisant d’abord usage du signe 2 , comme dans le n° 32 , et appelant tst la probabilité de x, nous aurons donc nx u X depuisx = o jusqu’à x= i. En désignant par y, cette chance de G, ou, plus exactement, ce qu’on doit prendre pour sa valeur inconnue, avant que E ait été observé, on aura donc y = J' xYdxî et l’on peut remarquer que si l’on considère x et Y comme l'abscisse et l’ordonnée d’une courbe plane, et si l’on observe que l’aire entière de cette courbe, ou l’intégrale fYdx est l’unité, y sera l’abscisse du centre de gravité de cette même aire. C’est d’après cette valeur de y prise pour la chance de G, que l’on devrait parier pour une première arrivée de cet événement, mais non pas pour plusie^gp arrivées successives ; car selon que G aura eu lieu ou n’aura pas eu lieu dans une première épreuve, la probabilité de son arrivée sera augmentée ou diminuée dans les épreuves suivantes. • Si, par exemple, toutes les valeurs de x sont également probables à priori, la quantité Y devra être'indépendante de xr; d’après les deux équations précédentes, on aura donc i > Y = y = ai SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ia 3 et, en effet, nous n’avons alors aucune raison de croire, dans une première épreuve, à l’arrivée de G plutôt qu’à celle de l’événement contraire. Mais si l’on prend pour chacun des événements E et E' l’événement simple G, auquel cas on aura, X = x, X'=jc, il en résultera pour la probabilité que G étant arrivé une première fois, arrivera encore une seconde fois, de manière que la probabilité de son arrivée, aura augmenté de de la première à la seconde épreuve. Elle diminuera delà même fraction, et se réduira à — £ , ou 5, à la seconde épreuve, lorsque l’événement contraire aura eu lieu à la première; car en prenant celui-ci pour E, et toujours G pour E', c’est-à-dire en faisant X = 1 — x, X' =.x, on en conclura pour la probabilité que G n’ayant point eu lieu la première fois, arrivera à la seconde épreuve. A priori, la probabilité que G arrivera deux fois de suite sera, par la règle du n" 9, le produit de la probabilité l qu’il aura lieu une première fois, et de la probabilité f qu’étant arrivé cette fois-là, il arrivera encore à la seconde épreuve; elle sera donc j, au lieu de qui serait sa valeur si la probabilité de G était a * à la seconde épreuve comme à la première. La similitude des deux événements qui arriveront dans les deux premières épreuves, aura une probabilité double ou égale à car cette similitude aura lieu, soit par la répétition de G, 16.. 124 RECHERCHES soit par celle de l’événement contraire, qui sont toutes deux également probables. En comparant f ou 4 i -f- £, à la probabilité ji + cT* de la similitude, que nous avons trouvée dans le n° 27, on aura ^ = -1=. l/3 Lors donc qu’à priori nous n’avons aucune donnée sur la chance d’un événement G, de sorte que nous puissions supposer également à x toutes les valeurs possibles, la probabilité de la similitude dans deux épreuves consécutives, est la même que s’il y avait, entre les chances de G et de l’événement contraire, une différence -—= sans 1/3 que l’on connût la chance la plus favorable. Nous déterminerons tout à l’heure la probabilité de la similitude dans les cas où l’on sait à priori que toutes les valeurs possibles de x, au lieu d’être également possibles, s’écartent très probablement fort peu d’une fraction connue ou inconnue. 46. Maintenant, l’événement simple dont la chance est inconnue, étant toujours désigné par G, appelons H l’événement contraire dont la chance sera l’unité diminuée de celle de G, et supposons i°, que l’événement observé E soit l’arrivée de G un nombre m de fois et de H un nombre n de fois, dans un ordre quelconque; 2 0 . que l’événement futur E' soit l’arrivée de G un nombre m' de fois et de H un nombre n' de fois, aussi dans un ordre quelconque. Pour la valeur x de la chance de G et 1 — x de celle de H, les probabilités X etX' de E et E' seront n* 14 X = Kx"i- x\ X' = K'ar-'Ci — xf ; K et K' désignant des nombres indépendants de x. On aura donc K' f' Yx- + -'i —x'+*'dx / Yx" 1 — x°dx pour la probabilité de E' après l’observation de E. Le nombre K a disparu de cette formule; la valeur qu’on y mettra pour K', sera SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ia5 m'. 3 1 . 2 . 3 . . ..m' -\-n' Si E' était l’arrivée de m! et n! événements G et H dans un ordre déterminé , il faudrait remplacer K' par l’unité. Lorsque avant l’observation de E, on n’aura aucune raison de croire aucune des valeurs de x plus probable qu’une autre, on prendra l’unité pour la quantité Y. Au moyen de l’intégration par partie, on a d’ailleurs ou, plus simplement, en faisant, pour abréger, — P i5 1 . pour un nombre quelconque i. On aura de même P , _ x m +*'dx = p J o V * oi + m'-f-o. > P et à cause de * m t+i\i pjpT- il en résultera j dans le cas dont il s’agit, m+n/ n+nt * m+o-t-r Pm/Pn/Pm^nPi mt* n/* m* n*m+wZ+n+fl'+t Afin que cette formule comprenne les cas où l’un des nombres m , n , m', n', est zéro, il y faudra faire P. = i. Cela étant, si l’on a n = o et n' = o, on aura simplement m -f- i 126 RECHERCHES ce qui exprimera la probabilité que G arrivera m' fois sans interruption, après être déjà arrivé m fois sans que l’événement contraire H ait eu lieu. Pour m' — i et n' = o, la valeur de »ou c’est-à-dire selon que dans les m - j- n premières épreuves, G est arrivé plus souvent ou moins souvent que l’événement contraire H elles sont égales entre elles et à ÿ, comme avant les épreuves, quand ces deux événements ont eu lieu le même nombre de fois. Mais il n’en sera plus de même, en général, lorsque l’on saura à priori, soit par la nature de l’événement G, soit par le résultat d’épreuves antérieures à l’événement E, que les valeurs de la chance inconnue de G ne sont pas toutes également probables, de telle sorte que l’on n’ait pas Y = 1 non-seulement dans ce cas, la fraction y du numéro précédent que l’on devra prendre pour la chance de G avant les m - j- n nouvelles épreuves ne sera point \, mais à l’épreuve suivante, la probabilité de G pourra être moindre que y , quoique G soit arrivé plus souvent que l’événement contraire II, ou plus grande, quoique ce soit G qui aura eu lieu le moindre nombre de fois ; c’est ce que l’on verra dans l’exemple suivant. 47. Je suppose qu’il soit très probable, à priori , que la chance de G s’écarte fort peu, en plus ou en moins, d’une certaine fraction r, de sorte qu’en faisant .r = r-f-z, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 127 la quantité Y soit une fonction de z, qui n’a de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de cette variable, positives ou négatives. La courbe plane dont x et Y sont les coordonnées courantes, ne s’écartera sensiblement de l’axe des abscisses x, que dans un très petit intervalle, de part et d’autre de l’ordonnée qui répond à x — r; le centre de gravité de l’aire de cette course tombera donc dans cet intervalle; par conséquent l’abscisse de ce point différera très peu de r; et en négligeant cette différence, r sera la valeur de la quantité y du n 45 - Cela posé, les limites des intégrales relatives à z seront les valeurs z = — r et z = 1 — r, qui répondent à x — o et x = 1 ; si donc on fait m! — 1, n' = o, dx => dz , dans la première expression de m' du numéro précédent, il en résultera f Yx""*"' 1 — x n dz ' — J ~ r ] _ r -, J Yx m i — x"dz pour la probabilité que G arrivera une fois, après avoir eu lieu m fois, et l’événement contraire n fois, dans m - f- n épreuves. Mais, par la nature du facteur Y compris sous les signes f, on peut, si l’on veut, borner ces intégrales à des valeurs très petites de z. Alors, en développant les autres facteurs en séries ordonnées suivant les puissances de z; ces séi’ies seront généralement très convergentes il n’y aurait d’exception que si r ou 1 — r était aussi une très petite fraction ; dans tout autre cas, il nous suffira d’eu conserver les premiers termes ; et en négligeant le carré dez, nous aurons x m 1 — x" = r” 1 — r" -j- [/m’”* - ' i — r“ — nr"* 1 — — 1 * 1—r"— — r n ~'-\-nn — 1 r" 1— r n, ”*]z* ; d’où l’on déduira la valeur de x"" 1 " 1 1 —x", en y rrtettant m - f- 1 au lieu de m. Je substitue ces valeurs de x” 1 — x* et de x’’"*' 1 x — x" dans l’expression de ^9 ” 4» ^i — * 7 en négligeant les fractions les nombres suivants a„,a lt , etc., seraient au-dessous de l’unité. Or, si l’on compare cette série des valeurs calculées, à celles des nombres a,, a % , a s , etc., qui résultent de l’observation , on voit qu'elles s’écartent peu l’une de l’autre dans leurs premiers termes. Les écarts sont plus grands dans les termes suivants; par exemple, la valeur calculée de a 7 n’est que les trois cinquièmes de la valeur observée ; mais ce nombre a 7 répond à un événement dont la probabilité est au-dessous d’un centième. En s’arrêtant aux trois premiers termes de la série des nombres observés, on en déduit p — ^= 0,51806, p —1 — j = 0,5344!» P= l — ^ = o,53o53; quantités qui diffèrent très peu entre elles, et dont la moyenne, ou le tiers de leur somme, est p — 0,52760, qui diffère à peine de 0,02, de la valeur — de p, résultante de l’ensemble des épreuves. J’ai choisi cette expérience à cause du nom de l’auteur, et parce que l’ouvrage où elle se trouve, la rend authentique. Chacun en peut faire beaucoup d’autres de la même espèce, soit avec une pièce de monnaie, soit avec un dé à six faces. Dans ce dernier cas, le nombre de fois que chaque face arrivera, sur un très grand nombre d’épreuves, sera à très peu près un sixième de celui-ci, à moins que le dé ne soit faux ou mal construit. 5i. Le théorème sur lequel est fondée la règle précédente est dû à Jacques Bernouilli, qui en avait médité la démonstration pendant vingt années. Celle qu’il a donnée se déduit de la formule du binôme au moyen des propositions suivantes. Soient, à chaque épreuve, p et q les chances données des deux événements contraires E et F ; soient aussi g, h , k , des nombres entiers, 11 ' 11 M wpp I i36 RECHERCHES tels que l’on ait P~ *1 = k’ g + ^ == Æ;, p + q = i ; désignons par m, n, p,, d’autres nombres entiers, liés à g, h, k, par les équations m = gk, n = hk , p. = m - n = g + h k, de manière que les chances p et q soient entre elles comme les nombres m et n, que l’on pourra rendre aussi grands qu’on voudra en augmentant convenablement g , h, k, sans changer leur rapport. Cela posé i°. Dans le développement de p - f- qj 1 , le terme le plus grand sera celui qui répond au produit p m q ", et comme ce terme est la probabilité de l’arrivée de m fois E et de n fois F n° il s’ensuit que cet événement composé, c’est-à-dire, l’arrivée des événements en raison directe de leurs chances respectives, est le plus probable de tous les événements composés qui peuvent avoir lieu dans un nombre quelconque p, d’épreuves. 2 °. Si ce nombre pb est très grand, le rapport du plus grand terme du développement de p -f- q à la somme de tous les termes, ou à l’unité, sera une très petite fraction, qui diminuera indéfiniment à mesure que p. augmentera encore davantage; par conséquent, dans une longue série d’épreuves, l’événement composé le plus probable, le sera cependant très peu, et de moins en moins à mesure que les épreuves seront plus long-temps prolongées. 5°. Mais si l’on considère dans le développement de {p-\-qY, son plus grand terme, les l termes qui le suivent et les Z termes qui le précèdent, et si l’on désigne par A la somme de ces il-\- i termes consécutifs , on pourra toujours, sans changer ni pmq, prendre p. assez grand pour que la fraction A diffère de l’unité, d’aussi peu qu’on voudra; et à mesure que p, augmentera encore davantage, A approchera de plus en plus d’être égal à un. On conclut de là que dans une longue série d’épreuves, il y a toujours une grande probabilité A que l’évé- {tement E arrivera uu nombre de fois compris entre les limites m'àzl, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i3 7 et F un nombre de fois compris entre nzpl; de telle sorte que sans changer l’intervalle il des limites de ces deux nombres, on pourra rendre le nombre p des épreuves assez grand pour que la probabilité À soit aussi approchante qu’on voudra de la certitude. Si l’on prend les rapports de ces limites au nombre p des épreuves, que l’on ait égard aux équations précédentes, et qu’on fasse - = p, q^J' = q', r ces rapports seront p' et q'; et comme la fraction diminuera indéfiniment à mesure que p. augmentera, il s’ensuit que ces rapports, variables avec p,, approcheront aussi indéfiniment, et avec une très grande probabilité, des chances p et q de E et F ; ce qui est l’énoncé du beau théorème de Jacques Bernouilli. Nous renverrons pour la démonstration de ces propriétés des termes du développement de p-hqY aux ouvrages où elle est exposée *. Celle du théorème même, que l’on trouvera dans le chapitre suivant, est fondée sur l’emploi du calcul intégral. En attendant, on ne doit pas perdre de vue que ce théorème suppose essentiellement l’invariabilité des chances des événements simples E et F, pendant toute la durée des épreuves. Or, dans les applications du calcul des probabilités, soit a divers phénomènes physiques, soit à des choses morales, ces chances varient le plus souvent d’une épreuve à une autre, et le plus souvent aussi, d’une manière tout-à-fait irrégulière. Le théorème dont il s agit ne suffirait donc pas dans ces sortes de questions; mais il existe d autres propositions plus générales, qui ont lieu quelle que soit la variatioti des chances successives des événements, et sur lesquelles sont fondées les plus importantes applications de la théorie des probabilités. Elles seront également démontrées dans les chapitres suivants; on en va maintenant donner l’énoncé, et en déduire la loi des grands nombres, que l’on a considérée dans le préambule de cet ouvrage, ? Ars conjectandi pars quarta. Traité élémentaire des probabilités de M. Lacroix; i r * section. 18 138 RECHERCHES comme un fait général, résultant d’observations de toutes natures. 5a. Dans un très grand nombre p. d’épreuves consécutives, représentons la chance de l’événement E de nature quelconque, par p, à la première épreuve, par p t à la seconde . par p^ à la dernière. Soit aussi p' la moyenne de toutes ces chances , ou leur somme divisée par leur nombre, c’est-à-dire, P'='-P> + P>+ Ps + - + en même temps, la chance moyenne de l’événement contraire F sera la somme des fractions i — p ,, i — p % ,. . . i — p divisée par p ; et en la désignant par q ', on aura p' - f- q' = i. Cela étant, l’une des propositions générales que nous voulons considérer, consiste en ce que si l’on appelle m et n les nombres de fois que E et F arriveront ou sont arrivés pendant la série de ces épreuves, les rapports de m et n au nombre total p. ou m - f- n, seront, à très peu près et avec une très grande probabilité, les valeurs dés chances moyennes p' et q', et réciproquement, p' et q' seront les. valeurs approchées de — et -. Lorsque ces rapports auront été déduits d’une longue série d’épreuves , ils feront donc connaître les chances moyennes p ' et q 1 , de même qu’ils déterminent, par la règle du n° 49 , les chances mêmes p et q de E et F, quand elles sont constantes. Mais pour que ces valeurs approchées de p' et q' puissent servir, aussi par approximation , à évaluer les nombres de fois que E et F arriveront dans une nouvelle série d’un grand nombre d’épreuves, il faut qu'il soit certain, ou du moins très probable, que les chances moyennes de E et F seront exactement, ou à fort peu près les mêmes, pour cette seconde série, et pour la première. Or, c’est ce qui a lieu effectivement en vertu d’une autre proposition générale dont voici l’énoncé. Je suppose que par la nature des événements E et F, celui qui arrivera à chaque épreuve puisse être dû à l’une des causes C,, C,, C 3 ,.. . C t , dont v est le nombre, qui s’excluent mutuellement, et que je regarderai d’abord comme également possibles. Je désigne par Ci la chance que la cause quelconque C f donnera à l’arrivée de l’événement E; de manière qu’à une épreuve déterminée, à la pre- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i3g mière, par exemple, la chance de E soit c, quand ce sera la cause C, qui interviendra, c, quand ce sera C,, etc. S’il ny avait qu’une seule cause possible, la chance de E serait nécessairement la même à toutes les épreuves; mais dans notre hypothèse, elle sera susceptible, à chaque épreuve, d’un nombre v de valeurs également probables, et variera, en conséquence, d’une épreuve à une autre. Or, si l’on fait > = ~ c i “H + c s* • • • “h > la somme des chances que E aura eu, dans un très grand nombre d’épreuves déjà effectuées, ou que cet événement aura dans une longue série d’épreuves futures, divisée par leur nombre, sera, à très peu près et très probablement, égale à la fraction y, dont la grandeur est indépendante de ce nombre; par conséquent, la chance moyenne p' de E pourra être regardée comme étant la même dans deux ou plusieurs séries , dont chacune sera composée d’un très grand nombre d’épreuves. En combinant cette seconde proMsition générale avec la première , on en conclut que si m est le nombre de fois que l’événement E arrivera ou est arrivé dans un très grand nombre p. d’épreuves, et m dans un autre très grand nombre p', on aura, à très peu près et très probablement, m m' , m" Ces deux rapports seraient rigoureusement égaux entre eux, et à la quantité inconnue y, si les nombres p et p! pouvaient être infinis. Lorsque leurs valeurs données par l'observation différeront notablement l’une de l’autre, il y aura lieu de penser que dans l’intervalle des deux séries d’épreuves, quelques-unes des causes C,, C,, C s , etc., auront cessé d’être possibles, et que d’autres le seront devenues; ce qui aura changé les chances c,, c t , c 3 , etc., et par suite la valeur de y. Toutefois, ce changement ne sera pas certain, et nous donnerons dans la suite l’expression de sa probabilité, en fonction de la différence observée ™ — —.et des nombres d’épreuves p et p. On fera rentrer cette conséquence des deux propositions précéden- 18.. i4o RECHERCHES tes, dans le théorème même de Jacques Bernouilli, en observant que dans l’hypothèse sur laquelle la seconde est fondée, la fraction y est la chance de E, iuconnue, mais constante pendant les deux séries d’épreuves. En effet, cet événement peut arriver à chaque épreuve, en vertu de chacune des causes C,, C,, C 3 , etc., qui ont toute une même probabilité - ; la chance de son arrivée en vertu de la cause quelconque Cj, sera le produit - c„ d’après la règle du n° 5; et d’après celle du n* 10 , sa chance complète aura pour valeur la somme des produits ~ c >t c > ~ c s> etc- > égale a quantité y. Pour plus de simplicité, nous avons regardé toutes les causes C,, C,, C 3 , etc., comme également possibles; mais on peut supposer que chacune d’elles entre une ou plusieurs fois dans leur nombre total v ; ce qui les rendra inégalement probables. On désignera alors par vy t le nombre de fois que la cause quelconque C, sera répétée dans ce nombre v; la fraction y t exprimera la probabilité de celte cause; et l’expression de y deviendra y = y, c, 4- y* c t + y 3 c 3 - f- — 4- On aura, en même temps, >. +% + >s +• • • • + >» — 1 1 puisque l’une des causes auxquelles ces probabilités se rapportent, devra avoir lieu certainement à chaque épreuve. Lorsque le nombre des causes possibles sera infini, la probabilité de chacune d’elles deviendra infiniment petite; en représentant, dans ce cas, par x l’une des chances c ,, c,, c 3 ,. .. . c, , dont la valeur pourra s’étendre depuis x = o jusqu’à x — i , et par Y dx, la probabilité de la cause qui donne cette chance quelconque x à l’événement E, on aura, comme dans le n° 45, y = /' Y xdx , J' Y dx = i. 53. Supposons actuellement qu’au lieu de deux événements possibles E et F, il y en ait un nombre donné /\, dont un seul devra arriver à cha- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ,4, que épreuve. Ce cas est celui où l’on considère une chose A d’une nature quelconque, susceptible d’un nombre À de valeurs, connues ou inconnues, que je représenterai par a ,, a t , a 3 ,. ... a*, et parmi lesquelles une seule devra avoir lieu à chaque épreuve, de sorte que celle qui sera arrivée ou qui arrivera sera, dans cette question, l’événement observé ou l’événement futur. Soit aussi c { „ la chance que la cause C;, si elle était certaine, donnerait à la valeur a v de A. Les valeurs de c M ,, relatives aux divers indices i et depuis i = r jusqu’à i = v et depuis i' = 1 jusqu’à i' == A, seront connues ou inconnues; mais pour chaque indice^, on devra avoir Ci, . + O,» + c t,t + • • • • + Ci,\ = 1 ; car si la cause C, était certaine, l’une des valeiys a,, a t , a 3 ,. . . ,a K , arriverait certainement en vertu de cette cause. Désignons, en outre, par a lr , la somme des chances de qui auront ou qui ont eu lieu dans un très grand nombre /a d’épreuves consécutives, divisée par ce nombre, c’est-à-dire, la chance moyenne de cette valeur a jf de A, dans cette série d’expériences. En considérant a u comme un événement E, et l’ensemble des A— 1 autres valeurs de A comme l’événement contraire F, on pourra prendre, d’après la seconde proposition générale du numéro précédent, a i> == y> C t,H “ H y*C % ,ir -+- 3,1/ .... -f- ; >1 > y»> y%> • • • y t étant toujours les probabilités des diverses causes qui peuvent amener les événements pendant la série d’épreuves, ou autrement dit, qui peuvent produire les valeurs de A que l’on a observées ou que l’on observera. Cela posé, la troisième proposition générale qui nous reste à faire connaître, consiste en ce que la somme de ces pi valeurs de A, divisée par leur nombre, ou la valeur moyenne de cette chose, différera très probablement fort peu de la somme de toutes ses valeurs possibles, multipliées respectivement par leurs chances moyennes. Ainsi, en appelant s la somme des valeurs effectives de A, on aura, à très peu près et avec une grande probabilité, RECHERCHES 142 de telle sorte que si l’on désigne par T une fraction aussi petite que l’on voudra, on pourra toujours supposer le nombre assez grand pour rendre aussi peu differente que l’on voudra de l’unité, la probabilité que la différence des deux membres de cette équation sera moindre que eT. Observons de plus que d’après l’expression précédente de ct„, et les valeurs de a,, a,, a 3 , etc., qui s’en déduisent, le second membre est indépendant de //.; quand ce nombre est très grand, la somme s lui est donc sensiblement proportionnelle ; par conséquent, si l’on représente par s' la somme des valeurs de A dans une autre série d’un très grand nombre fi' d’épreuves, la différence des rap- r $ S y • ports - et —7 sera très probablement fort petite; et en la négligeant, on aura + s s' f* fc'* Dans la plupart des questions, le nombre A des valeurs possibles de A est infini; elles croissent par degrés infiniment petits, et sont comprises entre des limites données; et la probabilité que la cause quelconque C, donne à chacune de ces valeurs devient, par conséquent, infiniment petite. En représentant ces limites par l et l', et par Zjdz la chance que donnera Q à une valeur quelconque z, qui pourra s’étendre depuis z = l jusqu’à z = on aura la chance totale de cette valeur z, ou à très peu près sa chance moyenne pendant la série des épreuves, sera Z dz, en faisant, pour abréger, y x Z t - > ,Z, + = Z; et il en résultera • , -= f l Z zdz. r* J 1 La quantité Z sera une fonction connue ou inconnue de z mais la somme des tractions y lf y t , ys, etc., étant 1 unité, ainsi que chacune des intégrales Z t dz,^ Z % dz,^ Z 3 dz, etc., on aura toujours J*Zttz = . . SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. .45 soit qu’il n’y ait qu’un nombre limité y de causes possibles, soit qu’il y en ait un nombre illimité, ou qu’on ait v = go . 54. Maintenant, la loi des grands nombre réside dans ces deux équations m P s f* applicables à tous les cas d’éventualité des choses physiques et des choses morales. Elle a deux significations différentes dont chacune répond à l’une de ces équations, et qui se vérifient constamment l’une et l’autre, comme on a pu le voir par les exemples variés que j’ai cités dans le préambule de cet ouvrage. Ces exemples de toute espèce ne pouvaient laisser aucun doute sur sa généralité et son exactitude; mais il était bon, à cause de l’importance de cette loi, qu’elle fût démontrée à priori; car elle est la base nécessaire des applications du calcul des probabilités, qui nous intéressent le plus; et d’ailleurs sa démonstration, fondée sur les propositionsdesdeux numéros précédents, a l’avantage de nous faire connaître la raison même de son existence. En vertu de la première équation, le nombre m de fois qu’un événement E, de nature quelconque, a lieu dans un très grand nombre fJL d’épreuves, peut être regardé comme proportionnel à fi. Pour chaque nature de chose, le rapport — a une valeur spéciale y, qu’il atteindrait rigoureusement, si p pouvait devenir infini ; et la théorie nous montre que cette valeur est la somme des chances possibles de E à chaque épreuve, multipliées respectivement par les probabilités des causes qui leur correspondent. Ce qui caractérise l’ensemble de ces causes, c’est la relation qui existe pour chacune d’elles entre sa probabilité et la chance quelle donnerait, si elle était certaine, à l’arrivée de E. Tant que cette loi de probabilité ne change pas, nous observons la permanence du rapport dans diverses séries composées d’un grand nombre d’épreuves; si, au contraire, entre deux séries d’épreuves, cette loi a changé, et qu’il en soit résulté dans la chance moyenne y , un changement notable, nous en serons avertis par un changement semblable dans la valeur de — lorsque, dans l’intervalle de deux séries d’ob- RECHERCHES 1 44 servations, des circonstances quelconques auront rendu plus probables les causes, physiques ou morales, qui donnent les plus grandes chances à l’arrivée de E, il en résultera une augmentation de la valeur de y dans cet intervalle , et le rapport ^ se trouvera plus grand dans la seconde série qu’il n’était dans la première; le contraire arrivera, quand les circonstances auront augmenté les probabilités des causes qui donnent les moiudres chances à l’arrivée de E. Par la nature de cet événement, si toutes ses causes possibles sont également probables, on aura Y = i et y = 7; et très probablement, le nombre de fois que E arrivera dans une longue série d’épreuves s’écartera très peu de la moitié de leur nombre. De même, si les causes de E ont des probabilités proportionnelles aux chances que ces causes donnent à son arrivée, et que leur nombre soit encore infini, on aura Y == ax; pour que l’intégrale Ç Xdx soit l’unité, il faudra que l’on aita=2 ; il en résultera donc >=f ; par conséquent dans une longue série d'épreuves, il y aura une probabilité très approchante delà certitude, quele nombre des arrivées de E sera à très peu près double de celui des arrivées de l’événement contraire. Mais dans la plupart des questions, la loi de probabilité des causes nous est inconnue, la chance moyenne^ ne peut être calculée à priori, et c’est l’expérience qui en donne la valeur approchée et très probable, en prolongeant la série des épreuves assez loin pour que le rapport — devienne sensiblement invariable, et prenant alors ce rapport pour cette valeur. L’invariabilité presque parfaite de ce rapport - pour chaque nature d’événements, est un fait bien digne de remarque, si l’on considère toutes les variations des chances pendant une longue séries d’épreuves. On serait tenté de l’attribuer à l’intervention d’une puissance occulte, distincte des causes physiques ou morales des événements, et agissant dans quelque vue d’ordre et de conservation; mais la théorie nous montre que cette permanence a lieu nécessairement tant que la loi de probabilité des causes, relative à chaque espèce d’événements, ne vient point à changer; en sorte qu’on doit la regarder, dans chaque cas, comme étant l’état naturel des choses, qui subsiste de lui-même SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. i45 sans le secours d’aucune cause étrangère, et aurait, au contraire, besoin d’une pareille cause pour éprouver un notable changement. On peut le comparer à l’état de repos des corps, qui subsiste en vertu de la seule inertie de la matière tant qu’aucune cause étrangère ne vient le troubler. 55. Avant de considérer la seconde des deux équations précédentes, il est bon de donner quelques exemples relatifs à la première , et propres à éclairer la question. Supposons qu’on ait un nombre v d’urnes C„ C„ C 3 ,. . . C,, contenant des boules blanches et des boules noires. Désignons par c n> la chance d’amener une boule blanche en tirant dans l’urne quelconque C,; laquelle chance pourra être la même pour plusieurs de ces urnes. On prend au hasard une de ces urnes que l’on remplace par une urne semblable; on en prend ensuite une seconde, aussi au hasard et que Ion remplace également par une semblable; puis une troisième que 1 on remplace de même ; et ainsi de suite , de manière que l’ensemble des urnes C,, C,, C 3 , etc., demeure toujours le même. On forme ainsi une sérié dûmes B,, B a , B 3 , etc., indéfiniment prolongée, qui ne renferme que les urnes données C,, C., C 3 , etc., plus ou moins répétées. Désignons la chance d’extraire une boule blanche de B, par b t , de B a par b t , de B 3 par b 3 , etc., de sorte que la série indéfinie b„ b % , b 3 , etc., ne contienne aussi que les chances donnéesc,,c a , c 3 ,etc., qui pourront y etre répétées. Cela étant, on tire une boule de B,, une de B a , une de B 3 , etc., jusqu’à l’urne inclusivement. En appelant £ la chance moyenne de l’extraction d’une boule blanche dans ces rn tirages successifs, on aura ^ = ~ ^1 -+• b t - f- b 3 - f- . .. -f- b^. Or, les urnes C,, C a , C 3 , etc., représentent les v seules causes possibles de 1 arrivée dune boule blanche à chaque épreuve; par conséquent, si jj. est un très grand nombre, que l’on fasse, comme plus haut, y — , c i H- °• +• c 3 +... + c,, !9 146 RECHERCHES. et que l’on de'signe par m le nombre de boules blanches qui seront extraites, on aura, d’après ce qui précède, - = €, é = y, m — fxy, P* a très peu près et avec une grande probabilité. Ainsi le nombre m ne changera pas sensiblement si l’on répète les tirages sur les mêmes urnes B,, B,, B 3 ,... B^, ou sur un nombre fx d’autres urnes consécutives, et si on les effectue sur un autre très grand nombre /x d’urnes, le / nombre de boules blanches qui arriveront aura -— pour valeur approchée et très probable. Si l’on extrait /x fois de suite au hasard, une boule de l’ensemble des urnes C,, C,, C 3 , etc., en remettant à chaque fois la boule extraite dans l’urne dont elle est sortie, la chance d’extraire une boule blanche sera la même à toutes les épreuves, et égale à y d’après la règle du n° 10; lorsque leur nombre sera très grand, celui des boules blanches que l’on amènera sera donc, en vertu de la règle du n° 49» à très peu près et très probablement égal au produit fxy, comme dans la question précédente; mais ces deux questions sont essentiellement distinctes; et les deux résultats ne coïncident que dans le cas où fx est un très grand nombre. Quand il ne l’est pas, la chance d’amener un nombre donné m déboulés blanches dépend, dans la première question, non- seulement du système des urnes données C,, C,,C 3 , etc., mais aussi du système des urnes B,, B,, B 3 , etc., que l’on en a déduit au hasard. Je réduis, par exemple, les urnes données à trois C,, C,, C 3 , et je prends jx = 2 et m = 1, de sorte qu’il s’agisse de savoir quelle est la chance de tirer une boule blanche de l’une des deux urnes B,etB a , et une boule noire de l’autre. Relativement à ces deux urnes, il peut arriver neuf combinaisons différentes que j’indiquerai de cette manière B.=B. = C If B,=B.= C., B,=B a =C„ B, = C, et B a = € ,, B, = C, et B s = C 3 , B, = C. et B. = C„ B, =C,etB,= C„ B, = C 3 et B, = C., B, = C, et B, = C,. Pour chacune de ces neuf combinaisons, la chance demandée aura une SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i4 7 valeur déterminée ; ses neuf valeurs possibles selon la combinaison qui aura eu lieu, seront 2C,l — C,, 2C.l — C % , 2Cj I — Cj , pour les trois premières; £.i —c a -H'.i—C,, c,l— C 3 +C 3 l— C,, C,l — C 3 +C 3 l—c,, pour les trois intermédiaires; et les mêmes que celles-ci, pour les trois dernières. Il est aisé de voir que la valeur moyenne de ces neuf chances, ou leur somme divisée par neuf, doit être la chance d’amener une blanche et une noire, en tirant une première fois au hasard dans le groupe des trois urnes C,, C,, Cj, puis une seconde fois après avoir remis la première boule extraite dans l’urne d’où elle serait sortie. Et, en effet, cette chance serait le double du produit de et de i — ^ c, -f- c, -f- c 3 ; quantité égale au neuvième de la somme des neuf chances précédentes. Avant que le système des urnes B,, B,, B 3 , etc., soit formé et déduit du système des urnes données, nous n’aurions aucune raison de croire que la n il!m ' urne B. sera plutôt l’une que l’autre des urnes C,, C,, C 3 , etc.; pour nous, la probabilité de l’extraction d’une boule blanche au n f ' m ' tirage serait donc la somme des chances c,, c ,, c 3 ,etc., divisée par leur nombre, c’est-à-dire la quantité y; mais quoique elle soit la même pour tous les tirages, et que leur nombre fx fût aussi grand qu’on voudra, nous ne serions pas autorisés à en conclure, en vertu de la seule règle du n° 49, que le nombre m des extractions de boules blanches, des urnes B,, B„ B 3 , etc., devra s’écarter très probablement fort peu du prodnit fxy ; car on ne doit pas perdre de vue que cette règle est fondée sur la chance propre de l’événement que l’on considère, et non sur sa probabilité, ou la raison que nous pouvons avoir de croire qu’il arrivera. 56. Pour second exemple, je suppose que l’on ait un très grand nombre de pièces de cinq francs, que j’appellerai A,, A,, A 3 , etc., et dont chacune présentera une de ses deux faces, en retombant à terre après avoir été projetée en l’air. Relativement à la pièce quelconque Aj, je désignerai par a, la chance de l’arrivée de tête, qui dépen- 19.. *' • 48 RECHERCHES dra de la constitution physique de cette pièce. La valeur de a, sera inconnue à priori; on la déterminera par l’expérience en projetant A/ un très grand nombre de fois m; et comme cette chance demeurera constante pendant cette série d’épreuves, si tête arrive un nombre n, de fois, on pourra prendre, par la règle du n° 49, pour sa valeur approchée et très probable. On s’en servira ensuite pour calculer les probabilités des divers événements futurs, relatifs à la projection de la même pièce A, on pourra parier à jeu égal, m contre m — n t que tête arrivera dans une nouvelle épreuve, m* contre T/z* — n* qu’il arrivera deux fois dans deux épreuves successives, 272 j m — Tij contre m *— 2 n t m — m que tête aura lieu une fois seulement dans ces deux épreuves, etc. Dans une nouvelle série d’un très grand nombre m' d’épreuves, le nombre de fois n / que tête arrivera , aura, à très peu près et avec une grande probabilité, le produit m'a * pour t valeur, toujours d’après la règle du n° 49; les deux rapports ^jet^> > devront donc s’écarter très peu l’un de l’autre ; mais, toutefois à raison de ce que cette valeur de donnée par l’expérience, est seulement très probable et non pas certaine, la probabilité du peu de différence de ces deux rapports ne sera pas si grande, comme on le verra par la suite, que si la valeur de cette chance a t était certaine et donnée à priori. Au lieu de projeter la même pièce un très grand nombre de fois, supposons que l’on emploie successivement un très grand nombre p de pièces de cinq francs , prises au hasard parmi celles qui proviennent d’un même mode de fabrication, et soit n le nombre de fois que tête arrivera. Appelons a la chance moyenne de l’arrivée de tête, non pas seulement pour toutes les pièces dont on aura fait usage, mais pour toutes les pièces de la même espèce et provenant delà même fabrication. En vertu des deux propositons générales du n° 52 , nous aurons, à très peu près et très probablement, a n ~ > t* SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 149 comme si les chances inconnues a,, a % , a if etc., étaient toutes égales entre elles. Selon que l’on trouvera ^ > ’ ou ^ on en conclura que dans les pièces de cinq francs de cette fabrication, la chance de l’arrivée de tête est généralement plus grande ou moindre que celle de l’arrivée de la face opposée. A l’égard d’une pièce A, en particulier, la chance a, étant différente de a, il pourra arriver que l’on ait — en considérant la première équation de ce numéro. La seconde équation, ou plutôt celle-ci - = [ r Zzdz, f* J i donnera lieu comme la première, à de nombreuses et utiles applications. Je suppose, par exemple, que a soit un angle que l'on veut mesurer. Cet angle existe; sa grandeur est unique et déterminée; mais l’angle que l’on mesure à chaque opération, est une chose susceptible d’un nombre infini de valeurs différentes, à raison des erreurs inévitables et variables des observations. Je prends cet angle, qui sera mesuré successivement un grand nombre de fois, pour la chose A, de sorte que Zdz exprime la chance d’une valeur quelconque z de A, résultante de la construction de l’instrument et de l’adresse de l’observateur. Soit k 20.. i56 RECHERCHES l’abscisse du centre de gravité de l’aire d’une courbe plane, dont z et Z sont l’abscisse et l’ordonnée, et qui s’étend depuis z= l jusqu’à z= ï, en désignant, comme dans le n" 53, par l et l' les limites des valeurs possibles de A. Faisons z — k - f- x , l = k - f- h , l' ss k - f- h' ; et représentons par X ce que Z devient quand on y met k-\-x au lieu de z ; nous aurons f t Tidz = Xdx = i, f h Xxdx = o, et par conséquent, à très peu près, en vertu de l’équation citée, dans laquelle s est la somme des valeurs de A que l’on obtiendra dans un grand nombre d’épreuves. C’est donc vers la constante k que sa valeur moyenne - convergera de plus en plus, à H" mesure que ft augmentera davantage; mais lors même que ce rapport sera devenu sensiblement constant, c’est-à-dire, lorsqu il sera sensiblement le même dans plusieurs séries d’autres grands nombres de mesures, il pourra quelquefois arriver que cette moyenne diffère beaucoup de l’angle a qu’on veut déterminer elle sera toujours la valeur approchée de la constante y qui peut ne point coïncider avec cet angle. En effet, soit z = et - f- u , l = et - f- g , l' a H - § '> appelons U ce que devient Z quand on y met a+M au lieu de 2 ; nous aurons J'* Zdz s= f'Vdu = i? Uttdtt. La différence u, entre l’angle a et une valeur possible z de l’angle mesuré A, est l’une des erreurs possibles de 1 instrument et de 1 obseï- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i 5 7 vateur; elle peut être positive ou négative, et s’étendre depuis = g jusqu’à u = g' ; sa probabilité infiniment petite estUtfo. Or, s’il n’y a dans la constructioa de l’instrument aucune cause qui donne aux erreurs positives de plus grandes chances qu’aux erreurs négatives, ou réciproquement, et qu’il en soit de même pour la manière d’opérer de l’observateur, les limites g et g' seront égales et de signes contraires , la fonction U sera égale pour des valeurs de la variable u égales et de signes contraires, et il en résultera Dans ce cas, qui est le plus commun, le rapport - sera donc la va- leurapprochée de a. Mais, si l’instrument par sa construction, ou l’observateur par sa manière de viser, donne quelque prépondérance, soit aux chances des erreurs positives, soit à celles des erreurs négatives, l’intégrale précédente ne sera plus nulle, les constantes a et k différeront l’une de l’autre, et le rapport - s’écartera notablement, en général, H 1 de la véritable valeur de a. On ne pourra s’apercevoir de cette circonstance, qu’en mesurant le même angle, soit avec d’autres instruments, soit par d’autres observateurs. Je me bornerai ici à indiquer cette application du calcul des probabilités en ce qui concerne les erreurs des observations, et les méthodes de calcul propres à en diminuer et évaluer l’influence, je renverrai à la Théorie analytique des probabilités et aux mémoires sur ce sujet que j’ai insérés dans la Connaissance des teins * . 61. Pour second exemple de l’équation citée au commencement du numéro précédent, supposons que les causes désignées par C,, C», C 3 , etc., soient toutes celles qui déterminent les chances de durée de la vie humaine dans un pays et à une époque déterminés. Ces causes sont, entre autres, les diverses constitutions physiques des enfants qui naissent, le bien-être des habitants, les maladies qui abrègent cette * Années 1827 et i 832 . i58 RECHERCHES duree, et sans doute aussi quelques causes résultantes de la vie elle- même , qui l’empêchent de se prolonger au-delà de limites quelles n’a jamais dépassées il y a lieu de croire, en effet, que si les maladies étaient les seules causes de mort, et qu’elle fût, pour ainsi dire, accidentelle, quelques-uns des hommes parmi le nombre immense de ceux qui ont vécu, auraient échappé à ces dangers pendant plus de deux siècles; ce qu’on u’a jamais observé. La chose A sera alors le temps que vivra un enfant qui vient de naître; z exprimera une valeur possible de A , et Z dz la chance de z résultante de toutes les causes, quelles qu’elles soient, qui peuvent la déterminer, non pas pour un enfant en particulier, mais pour l’espèce humaine, dans le lieu et à l’époque que l’on considère. Ainsi, concevons qu’une certaine constitution physique en naissant, donne une chance Z 'dz de vivre précisément un temps égal à z , qu’une autre constitution donne une chance Z 'dz de vivre jusqu’au même âge, etc.; soient aussi £', etc., les probabilités de ces diverses constitutions à raison de ces causes, la fonction Z sera la somme £'Z' -f- £"Z" + etc., étendue à toutes les constitutions possibles ; et si ce nombre est infini, Z se changera en une intégrale définie, qui aura une valeur inconnue, mais déterminée. Dans le pays où les hommes naissent le plus forts ou le mieux constitués, cette intégrale aura sans doute la plus grande valeur; dans chaque pays, elle pourra n’ètre pas la même pour les deux sexes; sans doute aussi les valeurs de Z', Z", TJ", etc., dépendront d’ailleurs des maladies possibles et du bien- être des habitants la fonction Z sera différente, et par suite, l’intégrale àeTzdz le sera aussi, à deux époques éloignées l’une de l’autre, si dans l’intervalle quelque maladie a disparu, ou que le bien-être du peuple ait augmenté par le progrès de la société. On pourra, si l’on veut, prendre zéro et l’infini pour les limites l et ï de cette intégrale , en considérant Z comme une fonction qui s’évanouit au-delà d’une valeur de z, inconnue aussi bien que la forme de Z. Cela étant, les valeurs observées de A seront les âges auxquels sont morts en très grand nombre ft d’individus nés dans un même pays'et vers la même époque; et en appelants la somme de ces âges, on aura, à très peu près et très probablement, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5g par conséquent, ce rapport - , ou ce qu’on appelle la vie moyenne , de- meurera constant pour chaque pays, tant qu’aucune des causes C,, C„ C 3 , etc., connues ou inconnues, n’éprouvera pas un changement notable. En France, on suppose la vie moyenne d’environ 29 ans; mais cette évaluation est fondée sur des observations antérieures à l’usage de la vaccine, et déjà très anciennes; elle doit être aujourd’hui sensiblement plus longue; et il serait à désirer qu’on la déterminât de nouveau, séparément pour les hommes et pour les femmes, pour les différents états, et pour les diverses parties du royaume. On considère aussi la vie moyenne à partir d’un âge donné s est alors le nombre des années qu’ont vécu au-delà de cet âge , un très grand nombre u d-’individus ; le rapport s - est la vie moyenne relative à cet âge, avec lequel elle varie, en demeurant constante pour un même âge on suppose qu’elle atteint son maximum entre 4 et 5 ans, et qu’elle s’élève alors à 43 ans. Les tables de mortalité ont un autre objet sur un très grand nombre /a d’individus nés dans un même pays et à la même époque, elle font connaître les nombres de ceux qui vivent encore au bout d’un an, de deux ans, de trois ans, etc., jusqu’à ce qu’aucun n’existe plus. En désignant par m le nombre des vivants qui ont un âge donné, c’est en vertu de la première équation du n° 54, que le rapport — est sensible- ment invariable, du moins tant qu’il ne s’agit pas d’un âge très avancé, et que m n’est pas devenu un nombre très petit vers cent ans, par exemple, cette invariabilité consiste en ce que le rapport — est toujours une très petite fraction. Dans l’intégrale J' Zzdz, au lieu de faire varier z par degrés infiniment petits, si l’on fait croître cette variable par des intervalles très petits; que l’on prenne, pour fixer les idées, chacun de ces intervalles de temps pour unité; et que l’on désigne par k l} h t , h i7 etc., la série des valeurs de z, et par H,, H,, H 3 , etc., les valeurs correspondantes de Z, la somme des produits H,4,, 11,4,, H 3 4 3 , etc., sera, comme on sait, la valeur approchée de cette intégrale. En désignant i6o RECHERCHES par v la vie moyenne, à partir de la naissance, on aura donc aussi v = H,A, - -f- H S A, -f- etc. Or, H„ exprimant ici la cha nce de mourir à un âge h u , il s’ensuit que relativement à la durée de la vie humaine, on peut considérer la vie moyenne v comme l’espérance mathématique n° 23 d’un enfant qui vient de naître et dont la constitution physique nous est inconnue; mais d’après les tables de mortalité, sur un très grand nombre d’enfants, plus de la moitié meurt avant d’avoir atteint cet âge v. 62. Supposons, pour dernier exemple, que pour un lieu donné et pour un jour de l’année aussi donné, on ait calculé l’excès de la haute sur la basse mer qui aurait lieu en vertu des actions simultanées du soleil'et de la lune. Prenons pour la chose A, la différence entre cet excès calculé et celui qui est observé dans le même lieu et à la même époque de chaque année. Les valeurs de A varieront d’une année à une autre, à raison des vents qui peuvent souffler en ce lieu et à cette époque, et qui déterminent les chances de ces diverses valeurs. Or, si l’on considère toutes les directions et les intensités possibles de ces vents, leurs probabilités respectives, et les chances que ces causes donnent à une valeur quelconque z de A, l’intégrale J i Zzdz aura une valeur inconnue, mais déterminée, et qui demeurera constante, tant que la loi de probabilité de chaque vent possible ne changera pas. Le rapport s - sera donc aussi à très peu près invariable; s étant la somme des valeurs de A, obser- .vées pendant une longue suite d’années. Nous ne savons pas à priori, si - est zéro ou une fraction qu’on puisse négliger, c’est-à-dire, si l’influence des vents sur les lois générales des marées est insensible ; l’expérience seule peut nous faire connaître la valeur de ce rapport, et nous apprendre s il varie aux différentes époques de l’année , et pour les lieux différents où les observations sont faites, sur la côte, dans les ports, en pleine mer. Pour connaître l’influence de tel ou tel vent en par- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 161 ticulier, il faudrait n’employer que des valeurs de A observées sous cette influence; toutefois, afin de n’avoir pas besoin d’un trop grand nombre d’années d’observations, ces valeurs pourraient répondre à plusieurs jours consécutifs, pendant lesquels la direction du vent aurait peu changé. Plusieurs savants s’occupent maintenant de cet examen, qui exigera un long travail, et ne manquera pas de conduire à des résultats intéressants. 63. L’exposition des règles du calcul des probabilités et de leurs conséquences générales, qui a été faite dans ce chapitre et dans le précédent , étant actuellement complète, je reviens sur la notion de cause et d 1 effet , qui est seulement indiquée dans le n° 27. La cause propre d’une chose E est, comme on l’a dit dans ce numéro, une autre chose C qui possède une puissance de produire nécessairement E, quelles que soit d’ailleurs la nature de ce pouvoir et la manière dont il s’exerce Ainsi, ce qu’on appelle l’attraction de la terre est une certaine chose qui a la puissance de faire tomber les corps situés à la surface du globe, dès qu’il ne sont pas soutenus; et de même, dans notre volonté , réside un pouvoir de produire, par l’intermédiaire des muscles et des nerfs, une partie de ces mouvements que l’on nomme, pour cette raison, mouvements volontaires. Quelquefois, dans la nature, la chose E n’a qu’une seule cause C qui puisse la produire, de sorte que l’observation de E suppose toujours l’intervention de C. Dans d’autres cas, cette chose peut être attribuée à plusieurs causes distinctes, qui concourent ensemble, ou qui s’excluent mutuellement de manière qu’une seule ait dû produire E. Telles sont, en ce qui concerne le principe delà causalité, les idées les plus simples et que je crois généralement admises. Cependant l’illustre historien de l’Angleterre a émis sur ce point de [métaphysique, une opinion différente qu'il convient d’examiner, et sur laquelle le calcul des probabilités peut jeter un grand jour. Selon Hume *, nous ne pouvons avoir d’autre idée de la causalité que celle d’un concours et non d’une connexion nécessaire entre * Essais philosophiques sur l’entendement humain septième essai de l’idée de pouvoir ou de liaison nécessaire. 21 162 RECHERCHES ce que nous appelons cause et effet; et ce concours n’est pour nous qu’une forte présomption, résultant de ce que nous l’avons observé un grand nombre de fois si nous l’eussions observé un nombre de fois peu considérable, ce serait juger de la nature sur un trop petit échantillon, que de présumer qu’il se reproduira désormais. D’autres ont partagé la même opinion-, et l’ont appuyée sur les règles de la probabilité des événements futurs, d’après l’observation des événements passés. Mais Hume va plus loin; et sans même recourir à ces lois de probabilité, il pense que l’habitude de voir l’effet succéder à la cause, produit dans notre esprit une sorte d’association d’idées qui nous porte h croire que l’effet va arriver quand la cause a eu lieu; ce qui peut être effectivement vrai pour la plupart des hommes, qui n’examinent pas le principe de leur croyance et son degré de probabilité pour eux, cette association d’idées doit être comparée à celle qui se fait dans notre esprit, entre le nom d’une chose et la chose même, et qui est telle, que le nom nous rappelle la chose, indépendamment de notre réflexion et de notre volonté. Un des exemples que l’auteur choisit pour expliquer son opinion est le choc d’un corps en mouvement contre un corps libre et en repos, et le mouvement de ce second corps à la suite de sa rencontre par le premier. Ce concours du choc et du mouvement du corps choqué est, en effet, un événement que nous avons observé un très grand nombre de fois, sans que l’événement contraire se soit jamais présenté; ce qui suffit, abstraction faite de toute autre considération, pour que nous ayons une forte raison de croire, ou, pour qu’il y ait une très grande probabilité que le concours dont il s’agit aura encore lieu désormais. Il en est de même de tous les concours de causes et d’effets que nous observons journellement et sans exception leur probabilité s’alimente, pour ainsi dire, par cette expérience continuelle, et la raison ou le calcul, d’accord avec l’habitude, nous donne une grande assurance qu’à l’avenir ces causes seront toujours suivies de leurs effets. Mais dans le cas d’un phénomène que nous avons seulement observé un nombre de fois peu considérable, à la suite de la cause que nous lui assignons, il n’y aurait, d’après les règles précédemment exposées, qu’une probabilité qui ne serait pas très grande, pour le concours futur de cette cause et de cet effet. Néanmoins, il arrive souvent que nous ne faisons i63 S? SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aucun doute de la reproduction de ce phénomène, lorsque sa cause aura lieu de nouveau. Or, celle assurance suppose que notre esprit attribue à la cause une puissance quelconque de produire son effet, et qu’il admet une liaison nécessaire entre ces deux choses, indépendamment du nombre, plus ou moins grand, de leurs concours observés. Ainsi, lorsque M. OErsted découvrit qu’en faisant communiquer les deux pôles d’une pile de Volta, au moyen d’un fil métallique, il arrivait qu’une aiguille aimantée, suspendue librement dans le voisinage de ce circuit voltaïque, déviait de sa direction naturelle; l’illustre physicien fut sans doute convaincu, après avoir répété un petit nombre de fois cette expérience capitale, que le phénomène ne manquerait pas de se reproduire constamment par la suite. Cependant, si notre raison de croire à cette reproduction était uniquement fondée sur le concours du circuit voltaïque et de la déviation de l’aiguille aimantée, observé une dixaine de fois, par exemple, la probabilité que le phénomène arriverait encore dans une nouvelle épreuve, ne serait que ^ n° 46 dans une nouvelle série de 1 o épreuves, ily aurait à parier 11 contre 1 o, ou à peu près un contre un, que l’événement aurait encore lieu sans interruption ; et dans une plus longue série d’expériences futures, il deviendrait raisonnable de penser que le phénomène ne sc reproduirait pas à toutes les épreuves. Je citerai encore pour exemple l’heureuse application à la composition chimique des corps, que M. Biot a faite récemment de la polarisation progressive de la lumière dans un sens déterminé, dont il avait depuis long-temps constaté l’existence dans des milieux homogènes et non cristallisés * . Lorsque dans un nom- * Le principe de cette application est exposé clairement et en peu de mots dans la note suivante que M. Biot a bien voulu me communiquer >• cette polarisation. Car le rayon, qui les a traversés sous l’incidence normale, » donne des images doubles, dans les mêmes positions du prisme rhomboïdal où » il en donnait primitivement de simples. Alors, en tournant graduellement la » section principale du prisme vers la droite ou vers la gauche de l’observateur, » 011 trouve toujours une certaine position ou l’image extraordinaire disparaît. Et, >> pour cette position, le rayon présente de nouveau tous les caractères d’une po- » larisation complète. De sorte que le plan de polarisation primitif a été seule- » ment dévié angulairement par l’action du corps interposé. » Pour chaque substance, prise dans un même état physique, et agissant sur un » même rayon, la quantité absolue de la déviation est proportionnelle à l’épais- seur de matière traversée ; de sorte que le sens dans lequel elle croît, fait con- » naître de quel côté elle s’exerce. Certaines substances l’opèrent vers la droite, » d’autres vers la gauche de l’observateur, pour les mêmes rayons; et, si on les » mêle ensemble, sans qu’il s’exerce entre elles de réaction chimique qui les dé- » nature, la déviation résultante est toujours la somme des déviations partielles » qui auraient été opérées isolément par les mêmes quantités pondérables de cba- » que substance. » Ces phénomènes de déviations progressivement croissantes, opérées dans un » sens propre, par des milieux homogènes agissant sous l’incidence normale , ont » été présentés à l’Institut le 23 octobre i 8 i 5 . Ce sont les premiers faits de ce » genre qui aient été découverts, et reconnus dans leur caractère progressif. La » découverte de M. OErsted, qui présente un semblable caractère, leur est posté- » rieure de plusieurs années. » *• SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i65 vateur, pour fixer les idées, et que les déviations observées ont été assez grandes pour ne laisser aucune incertitude sur le sens dans lequel elles ont eu lieu, cela suffit pour que nous soyons assurés, comme on l’est d’une chose dont personne ne doute, que dorénavant la même substance fera toujours dévier la lumière à droite; et cependant le concours de cette substance et d’une déviation à droite, observé un nombre de fois qui n’est pas très grand, ne donnerait qu’une faible probabilité, et même une probabilité inférieure à ^ , que dans un pareil nombre ou un nombre un peu plus grand d’épreuves nouvelles, aucune déviation à gauche n’aurait lieu. Ces exemples et d’autres qne l’on imaginera aisément montrent, ce me semble, que la confiance de notre esprit dans le retour des effets à la suite de leurs causes ne peut avoir pour unique fondement l’observation antérieure de cette succession, plus ou moins va voir, en effet, qu’indépendamment d’aucune habitude de notre esprit, la seule possibilité d'une certaine aptitude de la cause à produire nécessairement son effet, augmente de beaucoup la raison de croire à ce retour, et peut rendre sa probabilité très approchante de la certitude, quoique les observations antérieures soient en nombre peu considérable. 64 . Avant qu’un phénomène P ait été observé et qu’on sache s’il arrivera ou s’il n’arrivera pas dans toute une série d’expériences que l’on va faire, nous admettons donc que l’existence d’une cause C capable de le produire nécessairement ne soit pas impossible. Nous concevons aussi qu’avant ces expériences, l’existence d’une telle cause avait une certaine probabilité, résultant de considérations particulières qui la rendaient plus ou moins vraisemblable, et que nous représenterons par p. Supposons ensuite que P soit observé à toutes ces expériences dont le nombre sera désigné par n. Après cette observation , la probabilité de l’existence de C aura changé; il s’agira de la déterminer, et nous la désignerons par connues ou inconnues, qui ont pu aussi, à défaut de C, donner naissance à ce phénomène en se combinant avec le hasard n° 27, savoir B, dans la première expérience, B a dans la seconde ,B. dans la dernière. Soit généralement r ; la probabilité de l’existence de B, , multipliée par la chance que cette cause, si elle était certaine, donnerait à l’arrivée de P. En faisant, pour abréger, i\.r\.r 3 - r n = f, ce produit serait la probabilité de l’arrivée de ce phénomène dans toutes les n expériences, résultante de l’ensemble des causes B,, B,, B,, etc., et si la cause C n’existait pas; et comme \—p est la probabilité de la non-existence de C, il en résulte, dans l’hypothèse que C n’existe pas, I — p f> pour la probabilité de l’événement observé, qui est ici l’arrivée constante de P. Dans la supposition contraire, sa probabilité est p, c’est-à-dire, qu’elle n’est autre chose que celle de l’existence de C, antérieurement à l’observation, puisque celte cause produirait nécessairement l’arrivée de P à toutes les épreuves. Par conséquent, d’après la règle du n° 28, la probabilité de cette seconde hypothèse, ou de l’existence de C après l’observation, a pour valeur esr p _ p -h 1 —pr’ et celle de sa non - existence est 1 _1 ~Pt p + i — pi On parvient également à ce résultat, en ayant égard successivement aux n expériences, au lieu de les considérer toutes à la fois, comme nous venons de le faire. En effet, la probabilité de l’existence de C étant p, par hypothèse, avant la première expérience, désignons ce qu’elle devient successivement, par p' après cette expérience et avant la seconde, par p" après la seconde et avant la troisième, etc. ; nous aurons n' — P 1 n' 1 —Pr, P — P + * - - P r,’ 1 P P + 1 —p r,’ n" — 1 P 1— P r * P — P r + i- -/Or/ 1 —P 1 ** 1 + 1 etc. ; ✓ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 167 et en éliminant d’abord p' et 1 — p' des valeurs de p" et 1 — p", ensuite p" et 1 — p" des valeurs de p"' et 1 — p 1 ", etc., on obtiendra les expressions précédentes de W\W\VNV\W\> VV\S M \V\ V\\V\A\U\^\WVW\\U\ CHAPITRE III. Calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres. 66 Lorsqu’on veut calculer le rapport des puissances très élevées de deux nombres donnés, on le peut toujours, sans difficulté, au moyen des tables logarithmiques, eu employant, s’il est nécessaire, des logarithmes qui contiennent plus de décimales , que ceux dont on fait usage ordinairement. Si a et b sont ces deux nombres, et m et n leurs puissances, on aura n . log. b ’ - n / les produits , et leur rapport s’obtiendront aisément; et ce rapport étant le logarithme de celui qu’on demande, on trouvera ensuite celui-ci dans les tables. Mais il n’en est plus de même, lorsqu’il s’agit du rapport de deux produits dont chacun est composé d’un très grand nombre de facteurs inégaux, tel que a, . . n — 0 £li£Slü h" - f- - d - 1o 8- h *'•_ n JH n 6 dh 3 n — o, En désignant par t un nombre entier et positif, on a f e-* t tl+, dt = o, J — 00 f e-^t^dt— I ' 3 ' 5, ' at ~ • f e-^dt J — 0 a J —00 On a aussi, comme on sait, f e~ v dt = s/tt; SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i 7 5 TT désignant toujours le rapport de la circonférence au diamètre. Donc, à cause de d 4 - = d 4 - = h' + 2 h"t + 5 h'"t* + etc., dt dt nous aurons /T» rvrfi = H \/Ït h'+ h'”+ 1 ~ k' -h A-+etc.. Il suffira donc de déterminer les coefficients hh 1 ", h % etc., de rangs impairs; or au moyen des équations 2, on trouve h 1 = s/m, h" 1 — Ÿ-— n ~ 18n ’ k' = [/ in io8on * etc.; par conséquent, en ayant égard à l’équation 1 et à la valeur de H, on aura finalement 3 ...n= Y/atfn 1 + 7^ + Tât" etc ' ^ 68. La série contenue entre les parenthèses sera d’autant plus convergente dans ses premiers termes, qu’il s’agira d’un plus grand nombre n. Toutefois, elle est du genre des séries qui finissent par devenir divergentes, en les prolongeant convenablement; mais en réduisant cette série à sa partie convergente, on pourra toujours faire usage de la formule 3 pour calculer une valeur approchée du produit des n premiers nombres naturels; et il ne sera pas même nécessaire que a soit fort considérable pour que l’approximation soit très grande. En prenant, par exemple, n — io, la formule réduite à ses trois premiers termes, donne 3628800 à moins d’une unité près, et ce nombre entier se trouve être aussi la valeur exacte du produit des ro premiers nombres naturels. En mettant 2 n au lieu de dans la formule 3 , il vient 2 n — 1 .2n=22n , "e“*" \/frn 1+ —, —h \ 24 n i5in" -f- etc 176 RECHERCHES mais on a identiquement i . 2 n — i. 2n = 2“. i. 2 .3... n. i. . . 2n — \ ; on aura, par conséquent, —i =2 nJr 'n tm e~ tn - f-etc.^; et en divisant cette équation membre à membre par l’équation 3, on en conclut I . = 2 n*e-V2i-^; + rr 5 b +elc - ; 4 en sorte que l’expression en série du produit des nombres impairs ne renferme plus la quantité \Ar, qui se trouve dans celle du produit des nombres pairs et impairs. Si l’on fait n = i dans cette équation et dans la formule 3, on en déduit —= i — H- -V + Gtc -> 2I/2 24^1162^ -/= = 1 + — + ^ 5 + etc. \/ 2sr >2 288 Par le calcul direct, on a —= 0,96 io5. .., —7— = 1,08444 • • • ; 2 y 2 y 2*- et ces séries réduites à leurs trois premiers termes, donnent 0,95920 et 1,08680; ce qui diffère très peu des valeurs exactes. Ces exemples numériques, joints au précédent, montrent quel degré d’approxima- tioQ on peut attendre des formules de ce genre, dont on fera un continuel usage dans ce chapitre. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, 177 En multipliant par 2" les deux membres de l’équation 3 , les élevant ensuite au carré, et les divisant par 1 n, il vient en élevant les deux membres de l’équation 4 au carré, et supprimant dans le premier un facteur égal à l’unité, on a de même 1. 53 . 5 . 5 ...2 n- 1 t 5 irï i. 5 . 3 . 5 . 5 ...2»— —i=22 ,n e _ ” H—^-1-=?-U etc. ' ' V 0/1 n 1 1 l'ton 1 1 De cette manière, les premiers membres de ces deux équations sont des produits composés d’un même nombre de facteurs , égal à 2 n —1 ; et si l’on divise ces équations membre à membre, on en conclut n 2 .271 7T ] résultat qui coïncide dans le cas de n irifini, avec la formule connue de Wallis , savoir 1 .... - jr — - — - - _ 2 C’est à Laplace que l’analyse est redevable de la méthode que uous venons d’employer pour réduire les intégrales en séries convergentes dans leurs premiers termes, et propres à en calculer des valeurs approchées, lorsque les quantités soumises à l’intégration sont affectées de très grands exposants. Nous en verrons dans la suite une autre application. 69. Maintenant, soient E et F deux événements, contraires, de nature quelconque, dont un seul arrivera à chaque épreuve; désignons par p et q leurs probabilités que nous supposerons constantes; appelons U la probabilité que dans un nombre pc d’épreuves, E arrivera un nombre m de fois, et F un nombre n de fois; nous aurons n" j 4 1 . 772 • I . . . .fl 5 23 178 où l’on devra faire RECHERCHES m + n = / U,, p + q = 1 . Or, si p., m, n, sont de très grands nombres, il faudra recourir à la formule 5 pour calculer la valeur numérique de cette quantité U. En supposant chacun de ces trois nombres assez grand pour qu’on puisse réduire cette formule à son premier terme, nous aurons . fi = p? S/27Ip. > 1 . . .m — jn m \ /ztfm, 1 - \. n ~ h" S/ 27 rn , et par conséquent u = ^y wxJZEi, 6 \m / \ n J V iirmn 7 pour la valeur approchée de U. Il est facile d’en conclure que l’événement composé le plus probable, ou celui pour lequel cette valeur de U sera la plus grande, répondra au cas où le rapport des nombres m et n approchera le plus possible d’être égal au rapport des deux probabilités p et q. En effet, si l’on considère, au contraire, m et n comme des nombres donnés et p et q comme des variables dont la somme est l’unité, mais qui peuvent croître par degrés infiniment petits, depuis zéro jusqu’à l’unité, on trouvera, par la règle ordinaire, que le maximum de U répond à p = — et q — -. Mais vu le grand nombre des autres événements composés, moins probables que celui-là, sa probabilité sera néanmoins peu considérable et diminuera à mesure que le nombre des épreuves, que l’on suppose très grand, augmentera encore davantage. Par exemple, si l’on a p = q =^, et que soit un nombre pair, l’événement composé le plus probable re- pondra à m= n =^; et d’après la formule 6, sa probabilité U aura SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 1 79 ' pour valeur U = l/—; V KfA laquelle décroîtra, comme on voit, en raison inverse de la racine carrée du nombre /x. En prenant /x == i oo, on aura U = 0,07979, 1 — U = 0,92021; en sorte qu’on pourra parier un peu plus de 92 contre 8, qire dans 100 épreuves, les événements contraires E et F, tous les deux également probables, n’arriveront pas néanmoins un même nombre de fois. Si l’on eiit conservé le second terme de la formule 3, cette dernière expression de U se trouverait multipliée par 1 — ^ ; ce qui diminuerait U d’un 4uO e de sa valeur, dans le cas de fx — 100. 70. Non-seulement l’événement composé pour lequel les nombres m et n approchent le plus d’être entre eux comme les fractions p et q, est toujours le plus probable, mais dans un nombre /x d’épreuves, donné et supposé très grand, les probabilités des autres événements composés ne commencent à décroître rapidement que quand le rapport ™ s’écarte de en plus ou en moins, au-delà d’une certaine limite dont l’étendue est en raison inverse d e\/fx. En effet, prenons encore pour exemple le cas de /> = on aura, par la formule du binôme n° 8, à très peu près, et en prenant sous le radical, ft au lieu de — g, il en résultera pour la loi du décroissement de la probabilité U, dans une petite étendue, de part et d’autre de son maximum. En faisant, par exemple, fX = 200, on en conclura que dans 200 épreuves, la probabilité que les événements E et F, dont les chances sont égales, auront lieu le premier io5 fois et le second 95 fois, est à la probabilité qu’ils arriveront cha- I cun 100 fois, comme e 4 est à l’unité, ou à peu près, comme 3 est à 4. La formule 6 suppose que chacun des trois nombres /*, m, n, est très grand; cette condition étant remplie, et si le rapport — s’écarte beaucoup de cette formule donne pour U une valeur très petite relativement à son maximum; mais il est bon d’observer que si l’on suivait une autre méthode d’approximation, la valeur toujours très petite de U que l’on trouverait, lorsque la différence ™ ^ est une très petite fraction, pourrait 11e pas coïncider avec celle qui se déduit de la formule 6, de telle sorte que le rapport de l’une de ces valeurs approchées à l’autre pourrait différer beaucoup de l’unité. Pour le faire voir, j’observe qu’en vertu d’une formule qui se trouve SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 181 dans l’un de mes mémoires sur les intégrales définies *, on a 1 . 2 . 3 . n x dx x cos m m . n y* Quels que soient les nombres m et n, et leur somme /x, on aura donc, d’après l’équation 5,. cos'' x cos /n n x dx, dans le cas d e p — q z='~, qu’il nous suffira de considérer. Or, si fx est un très grand nombre, et si, dans un calcul d’approximation, on le traite comme un nombre infini, le facteur cos M x de dx sous le signe d’intégration, s’évanouira dès que la variable x aura une grandeur finie; et l’autre facteur cos m — n x ayant toujours une valeur finie, il s’ensuit qu’on pourra, sans altérer la valeur de l’intégrale, l’étendre seulement depuis x —o jusqu’à x — a. jgpn désignant par a une quantité infiniment petite et positive. Entre ces limites, on aura 1 , ** _ I /* cos x = i- x , cos x — e a 2 et, par conséquent cos m — n x dx. O Mais actuellement, le facteur e a s’évanouissant pour toute valeur finie de a?, on peut aussi, sans altérer la valeur de cette nouvelle intégrale, l’étendre au-delà de x = a, et si l’on veut jusqu’à x = ce ; et comme on a, d’après une formule connue, px _! „ J - - m a 1 ! e * cos m — n x dx =%/ — e , 0 * Journal de F École Polytechnique, 19 e cahier, page 4 go. 182 il en résultera RECHERCHES U = m—» n* a f* Cela posé, si l’on fait, comme plus haut, m—n = g y/^, cette valeur de U coïncidera avec celle qui se déduit de la formule 6, seulement lorsque g sera un très petit nombre relativement à vV; et pour d’autres valeurs de g, le rapport de l’une à l’autre de ces deux valeurs de U différera beaucoup de l’unité, et pourra même devenir un très grand nombre. En prenant, par exemple, g = ^ y/y. et m — n = la formule précédente donne I On déduit de la formule 6 -jr'o-r C'+irv ou bien, à cause que le second facteur est à très peu près égal au troisième , il en résulte Or, ces deux valeurs de U s’accordent en ce sens qu’elles sont toutes deux très petites, et quelles montrent, en conséquence, que dans un très grand nombre d’épreuves, il y a une probabilité U extrêmement faible que les deux événements E et F, dont les chances sont égales, arriveront des nombres de fois ^ /à, et ^ //., ou dont l’un sera triple de l’autre. Mais si l’on divise la dernière valeur de U par la pre- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i83 mière, on a /3 l 81 J ’ quantité qui croît indéfiniment avec fx ,, et surpasse déjà 800 pour & = 100. 71. Supposons toujours les chances de E et F constantes, mais inconnues. On sait seulement que dans un nombre fx. ou m - n d’épreuves, E et F sont arrivés m fois et n fois. On demande la probabilité que dans un nombre jxJ ou m! +• n' d’épreuves futures, E et F arriveront m' fois et n! fois. En la représentant par U' ; désignant par P, le produit des i premiers nombres naturels, de sorte qu’on ait P, = .3 ... . i ; et faisant, pour abréger , I 2 • 3 • • • • ^ 1 . 2 . 3 .... m . 3 .... ri 9 nous aurons n° 46 U'=H Pm+m/ Pn-+.»/ P P P r m * n r Quels que soient m' et n', si m et n sont de très grands nombres, et que l’on réduise, comme plus haut, la formule 3 à son premier terme, nous aurons P» — n n e " y/ 27 rn > les valeurs des autres produits P n + n ,, P„ + ,, etc., se déduiront de celle de P. en y mettant n-\-ri, fx-+- 1, etc., au lieu de n; et il en résultera m a n*ft +f,'+ 1 * i84 RECHERCHES pour la valeur approchée de U', dans laquelle on a fait, pour abréger, » / m+m'n + n'f* + 1 _ ^ * V mn y + y - t- i On peut aussi mettre cette expression de U' sous une autre forme à cause de la grandeur de /a, on a, à très peu près, par la formule du binôme, O+ar-O+.-T? y+y' et ;i cause de pt! — m! -+- n', il en résulte U '= HK +£>" + Si m" et n' sont de très petits nombres par rapport à m et n, on aura, • à très peu près, soit par la formule du binôme n° 8, soit par la considération des logarithmes; on aura également, à très peu près, fm + m'\ m ' /m\ m ' fn + ri\ /n\* f V y + y ~~\y ’ U + //~W ’ et l’on pojurra aussi remplacer le facteur K par l’unité dont il différera très peu. Par conséquent, nous aurons '=» ”";' q 'U 'Jl En la comparant à la formule 5, et désignant par V' la probabilité que deux événements dont les chances seraient constantes et égales aux 2 4.. i8S RECHERCHES chances - et - des extractions d’une boule blanche et d’une boule noire C C a 1 origine des tirages, arriveraient des nombres de fois a' et b' dans un nombre c' ou a' - f- b' d’épreuves, on aura V = V' y/l-, ce qui montre que la probabilité V est plus grande que Y' dans le rapport de \/c h. \/ p, quel que soit le nombre c' de boules qui restent dans A après les tirages, et pourvu seulement que le nombre p de boules qu’on en a tirées soit très grand. On peut remarquer que l’on a a' = p'c — p, b' = q'c — fi } de sorte que les nombres a' et U de boules des deux couleurs qui restent dans A, sont entre eux comme les probabilités p' et q', ou comme les nombres a et b de pareilles boules que cette urne contenait primitivement. Si l’on a, par exemple, p' — q' = 7, et conséquemment a' — b' = £ c', on aura n° 69 et à cause de c' = c — p ,, il en résultera V — ./_• — V Lorsque u.—\c, celte quantité a pour valeur V = i/i- = wà; d’ou l’on conclut que quand une urne A renferme des nombres très grands et égaux, de boules blanches et de boules noires, et qu’on en tire la moitié de leur nombre total, sans y remettre les boules sorties, la probabilité d’amener autant de boules blanches que de boules noires, surpasse, dans le rapport de V / 2 à l’unité, la valeur qu’elle aurait si l’on eût remis dans l’urne, la boule extraite à chaque épreuve. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 189 78. Je reviens actuellement au cas où les chances p et q des deux événements E et F sont constantes, et je vais considérer la probabilité que dans un nombre p, ou m-\-n d’épreuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. Cette probabilité sera la somme des m premiers termes du développement de p + qY > ordonnée suivant les puissances croissantes de q; de sorte qu’en la désignant par P, on aura n° i 5 p = Y 1 + nf-'q . 4 - - 1 u—I + .... — \ . ..rf— A .. .n 8 -pf~ n q n ; mais sous cette forme, il serait difficile de la transformer en une intégrale à laquelle on puisse ensuite appliquer la méthode du n° 67 , lorsque m et n seront de très grands nombres. Cherchons donc d’abord une autre expression de P qui convienne mieux à cet objet. On peut aussi dire que l’événement composé dont il s’agit consiste en ce que F n’arrivera pas plus de n fois dans les p, épreuves. En le considérant de cette manière, je l’appellerai G. Il pourra avoir lieu dans les n - j- 1 cas suivants i°. Si les m premières épreuves amènent toutes l’événement E; car alors, il ne restera plus que p — m ou n épreuves qui ne pourront pas amener F plus de n fois. La probabilité de ce premier cas sera p m . 2 0 . Si les 772 —f— 1 premières épreuves amènent m fois E et une fois F, sans que F occupe le dernier rang, condition'nécessaire pour que ce second cas ne rentre pas dans le premier. 11 est évident que les n — 1 épreuves suivantes ne pouvant amener F que n — 1 fois au plus, cet événement n’arrivera pas plus de n fois dans la totalité des épreuves. La probabilité de l’arrivée de m fois E et de une fois F, qui occuperait un rang déterminé, étant p m q, et ce rang pouvant être les m premiers, il s’ensuit que la probabilité du second cas favorable à G, sera mp m q. 3 °. Si les m-f-2 premières épreuves amènent m fois Eet deux fois F, sans que F occupe le deuxième rang, ce qui est nécessaire et suffisant pour que ce troisième cas ne rentre ni dans le premier, ni dans le second. La probabilité de l’arrivée de m fois E et de deux fois F, dans RECHERCHES >9° des rangs déterminés, serait p n q tm , en prenant deux à deux les m-f- i premiers rangs pour y placer F, on a-îmm-f-i combinaisons différentes; la probabilité du troisième cas favorable h G aura donc j m m -f- i p m q % pour valeur. En continuant ainsi, on arrivera enfin au /i+ i" m 'cas, dans lequel les pi épreuves amèneront m fois E et n fois F, sans que F occupe le dernier rang, afin que ce cas ne rentre dans aucun des précédents ; et sa probabilité sera m. m i ,m -f- 2. .. .m + n — i 1 . 2 . 3 ....n Ces n-f- i cas étant distincts les uns des autres, et présentant toutes les manières différentes dont l’événement G puisse avoir lieu, sa probabilité complète sera la somme de leurs probabilités respectives ü* io; en sorte que nous aurons + î .m -f- 2 p m [ I -f- mq - f- I . f + ••• 9 + i ,m + 2 ...m + — expression qui doit coïncider avec la formule 8, mais qui a l’avantage de pouvoir se transformer aisément en intégrales définies, dont les valeurs numériques pourront être calculées par la méthode du n° 67, avec d’autant plus d’approximation que m et n seront de plus grands nombres. 74. Pour effectuer cette transformation, j’observe qu’en intégrant n __ 1 fois de suite par partie, et désignant par C une constante arbitraire, on aura x n n x n ~' x" 1 J 1 l+x'f f*— 1 I /“- 2 E+*/- a — —2... 1 fi — 1 . fi— 2 . fi —3.. .fi— n+i .fi—n , n Comme on a u > n , tous les termes de cette formule, excepté C, dis' paraissent quand x — 00 ; si donc on désigne par et une quantité SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, positive quelconque, ou zéro, on en conclura I 9 l / ,ï5 x n dx _ ** , n _ , —i , + *>*+ i4-“ 4 ~ A* — 1 +* * -1 fê— 27 + - — i .n— 2.. .2. i — — 2 ,ft — 3 ...ft — n-\ 1 a}/*— n Dans le cas de a = o, cette équation se réduit à x n dx vf - J o t . n— 1. n —2.. . -f- x* +l et en divisant l’équation précédente par celle-ci, et faisant, pour abréger -—-3T=X, !+*/•+' on obtient facilement f = ° J Xdx J a. _ i p. 0C 75. Appliquons d’abord la méthode du n°67 à l’intégrale / En appelant, comme dans ce numéro, h la valeur de oc qui répond au maximum de X, et H la valeur correspondante deX, l’équation ^ = 0, qui servira à déterminer h sera n{ 1 + h — 4 -f 1 h = o; d’ou l’on conclut n-m+ i m+ * h = m -h 1 ’ H; SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Si l’on fait, dans les équations 2, h* , 9 ï H =s , + f>r +i ’ et qu’après avoir effectué les différentiations relatives ah, on y mette pour cette quantité, sa valeur précédente, on en déduit k’ — \ / 2 *± In “ V m -f- i 3 ’ III _ 2 f* ~ 4 ~ 1 + n 1 — 3 m + 0 * ’ etc. ; efrorsque m, n, /x, seront de très grands nombres et du même ordre de grandeur, il est aisé de voir que ces valeurs des quantités h ', h", h'", etc., formeront une série très rapidement décroissante, dont le premier terme h' sera du même ordre de petitesse que la fraction > \ Vf* le second A" de l’ordre de - , h"' de l’ordre de etain- f* fcVf* si de suite. Cela posé, nous aurons, pour la valeur en série de l’intégrale donnée, f*Xdx=U\frh' + ~ h' etc., n 76. L expression formule 10 sera différente selon qu’on aura a > h ou a En considérant k comme une quantité positive, il faudra donc prendre 0 = k , lorsqu’on aura? >A,et 6 = — k, quand on aura ? h, et f"xdx=f^Xdx — HÆ , K 0 +3A W K,+ 5A'K, + etc. ^ +H 2 A"K 0 '+ 4A"K,' + 6A-K; h- etc., nr 1 p Ch]açtfpe des séries contenues dans ces formules aura, en général, le même degré de convergence que la série 11 . Les valeurs des intégrales désignées par K, ne pourront s’obtenir que par apprqxirçjq^on, lorsque k sera différent de zéro. Celles qui sont représentées par K/, s’exprimeront toujours sous forme finie, et l’on aura K',=e — l '’&*'+/ — 1 ,k*~ H - . .. 1 .. .2 ,k*-+ — 1 .. . 2 . 1 . Quand on aura a = k, les formules i3 et 14 devront coïncider. En effet, on aura en même temps q n _ n _ m - f- i P m- f-i ’ ^ + ' P “ + > ’ ce qui rendra nulle la valeur de k tirée de l’équation 12 . Il en résultera K,= .2 i- \/jr 2 i+i » . I et d’après l’équation 1 i,les formules i3 et 14 se réduiront l’une 25.. 196 et l’autre à RECHERCHES /; Srfx = H -^ A- + '4 h"’+ V + etc. + H h" - f- 1 , >r — j— .h" - f- etc.. 77. Nous supposerons actuellement les nombres m, n, fi, assez grands pour qu’on puisse négliger dans ces différentes formules, les quantités h!", h' 1 , etc. D’après les valeurs de h’ et h" données plus haut, on aura r V 1 4- n\/1 _ 3t/n m -f- 1 ; -f- i’ et au moyen de l’équation 10 et des formules 11, i5, i4, nous aurons J , w ~ ^$ * 6 ! X, P == f œ e -’ dt + - ^ ± É^ —* • \Z*rJ k 31 /trftmn P = I-^ \/ ir J & 3 y pinn h ou^ p , on aura h = 1 - > h. H- + 2* p Ce sera donc la première équation i5 qu’il faudra employer; cette SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, formule et l’équation 12 deviendront 1/ >g j» 4- 2 2 ?^ + 0 log ^42 _ 2 /> l “+l’ ! t 7 et P exprimera la probabilité que dans un très grand nombre pair d’épreuves, l’événement F le plus probable n’arrivera cependant pas plus souvent que l’événement contraire E. En appelant U la probabilité qu’ils arriveront tous les deux le même nombre de fois, P — U sera la probabilité que F arrivera moins souvent que E. Dans le cas de p — q = l , il est évident que P — U sera aussi la probabilité que E arrivera moins souvent que F; le double de P—-U, ajouté à la probabilité U, donnera donc la certitude, ou, autrement dit, aP — U sera l’unité; d’où l’on conclut u = 4- C e ~ i ' dt — 1 + 4=^ y/ tt J % \/ xp -k>. J et c’est, en effet, ce que l’on peut aisément vérifier. En réduisant en série, on a / Al0 Srx7=-^ 1 °g 1 +i == - 1 V 4- .f *+2 ^+2 Io g^ =~+2 l °g i -^r 2 = T + et, par conséquent, A* = h + 4 t* 40 + 2 4 - etc. donc en conservant seulement les termes du même ordre de petitesse que la fraction nous aurons V f* k = —=, e~ k ' — 1. y/ip *,8 RECHERCHES Nous aurons, en même temps, 4 / i=0 /.CO /.* , _ . e~°dt = / e~ l 'dt — / e~''dt — - yV-=; k J O ./O 2 V^ 2 J“ au moyen de quoi la valeur précédente de U se réduira à U = l/-; V m ce qui coïncide, effectivement, avec celle que l’on déduit de la formule 6, dans le cas de m = n et p = q. j Si est un nombre impair, que l’on fasse m == j /*-*- i, et qu’on suppose toujours q > p, on aura encore^ > h ; la première formule i5 et l’équation 12 deviendront P À* •?-= f e~ l 'dt \ /— e~ k ' l/* J k V ** * ft+ 3 V ft— 1 = V log 4 O + ' log + 3 *P /“ 4 0 ’ et P sera la probabilité que dans un très grand nombre p. d’épreuves, l’événement le plus probable se présentera cependant le moins souvent ; car p étant impair, le cas de l’égalité des arrivées de E et F sera impossible. Dans le cas de p — q = cette probabilité P devra être égale à j; et c’est aussi ce que nous allons vérifier. Nous aurons f* — ilog'~ I A* -4 3 log /“-H P+3 >4» “f*-01ogl + ^= -2+^1 - elC -> .^+5logi-^= 2 + ^3 + etc., et, par conséquent, À* = — 1 ft 4 3 -f- etc. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 199 En négligeant, comme plus haut, le terme de l’ordre de petitesse de la fraction - , il en résultera = e~ k ' = 1 , f e~ i 'dt — -\/7r * ’ J k 2 V — Ÿ-"L. 1 1“ ce qui réduit à j la valeur précédente de P. 78. Supposons maintenant que le nombre n diffère du produit + d’une quantitép, positive ou négative, mais très petite par rapport à ce produit. A cause de p - f- q = 1 et m - f- n = f*, on aura à la fois n = p -f- 17 — p, m + 1 = h- +• ip - H p. La valeur correspondante de h sera h _ fc + iy —c “ *+,/>+,» et, par conséquent, moindre que J, en regardant d’abord p comme une quantité positive. Si l’on développe le second membre de l’équation 12 suivant les puissances de p, on trouve A* = [ + p—q f 2 0*+i^yL et, r étant une quantité positive, si l’on fait f = r V* ;* + i pq, etc. ; on en déduit = r[j + P — 9 r 3 l/a {/* + \pq -j- etc. ^J. En excluant le cas où l’une des deux fractions pet q serait très petite, la série comprise entre les parenthèses, est très convergente, puisqu’elle procède suivant les puissances de —, ou de En ne Vf* - f-i f* T 1 200 RECHERCHES conservant seulement que les deux premiers termes, et faisant, pour abréger, P — ' En désignant par r’ une quantité positive, et prenant — r' V 2 /U. + ipq pour la valeur de p, celle de n sera n = fi - f- i q 4- r ' Va / * 6 et d’après la signification de ces deux probabilités P, il est aisé de voir que R sera la probabilité que l’événement F arrivera dans un très grand nombre fi d’épreuves, un nombre de fois qui n’excèdera pas la seconde valeur de n , et surpassera la première au moins d’une unité. 79. Pour simplifier ce résultat, soient N le plus grand mgpbre entier contenu dans uq, et f l’excès de pq sur N; désignons par u , une quantité telle que u V2 /u-f- 1 pq soit un nombre entier/très petit par rapport à N; et faisons ensuite q + f — r \/2 p + 1 p? = — v'a O + 1 pq — 1, q + / + d V* fi + T pq = u\/2fi - f- 1 pq. Les limites des valeurs de n auxquelles se rapporte la probabilité R, deviendront n = N — u \^2 fi -j- 1 pq — 1, n = N + u V2At- 1 pq; par conséquent, la formule 16 exprimera alors la probabilité que n excédera au moins d’une unité cette première limite, et ne surpassera pas la seconde, c’est-à-dire la probabilité que ce nombre sera contenu entre les limites N =p u V^fipq, équidistantes de N, et dans lesquelles on a mis fi au lieu de fi - f- », ou qu’il sera égal à l’une d’elles. D’après les équations qu’on vient de poser, et les expressions de f et cf', on aura r -f- = -f- e H- . _ _ r' — cf' = — s; f - h OW i étant une quantité de l’ordre de petitesse de la fraction —=. Or, ea 303 RECHERCHES désignant par v une quantité quelconque de cet ordre, dont on négligera le carré, on a U+ V e~" clt e—dt — ve ~'; si donc on applique cette équation aux deux intégrales contenues dans la formule 16, et si l’on fait r' = r, dans les termes compris hors du signe f, qui sont déjà divisés par \/a, il en résultera * R = ÿ l 'dt V e~u' } l l où l’on a aussi mis, dans le dernier terme, f t au lieu de i . Si l’on eût voulu que l’intervalle des valeurs de n dont la probabilité est R, ne comprît pas sa limite inférieure, il aurait fallu augmenter d’une unité la plus petite des deux valeurs précédentes de n ; ce qui aurait fait disparaître le dernier terme 1 - — de la valeur ✓ aA*+i pq de r-j-cT, et, par suite, le dernier terme de la formule 17. De même, pour que cet intervalle ne comprît pas sa limite supérieure, on aurait dû diminuer d’une unité la plus grande de ces deux valeurs de n; ce qui aurait diminué de — - - la valeur de r' — cf', et encore Vi{r+ipq fait disparaître le dernier terme de cette formule 17. Enfin, on devrait changer le signe de ce terme, si l’on voulait que l’intervalle des valeurs de n que nous considérons ne renfermât ni l’une, ni l’autre, de ses deux limites. Il suit de là que le dernier terme de la formule 17 doit être la probabilité que l’on ait précisément n = N +* u s/zppq ; u étant une quantité positive ou négative, telle que le second terme de n soit très petit par rapport au premier. C’est aussi ce qui résulte de la formule 6. En effet, en négligeant les quantités de l’ordre de petitesse de la 0 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ao 5 fraction -, on aura d’où l’on conclut ©'£=- + J v/f - - * 0 -=\/f ? > ou, ce qui est la même chose, -ŒXÏT—-•O + ï y/?-»* 0 -} v 7 f - v/^-i»6 v/^]i or, en développant ces logarithmes, et négligeant toujours les ternies de l’ordre de - , on trouve—w*pour la valeur du second membre de cette f* équation ; par conséquent, nous aurons et comme on a aussi, d’après les équations précédentes, mn ~ — m> la formule 6 deviendra U = — V 2itftpq ce qu’il s’agissait de vérifier. La première valeur de P du numéro précédent, étant la probabilité que le nombre n ne surpassera pas la limite fxq — r y/2/xpq , dans laquelle je mets fx au lieu de p. - f- i, il s’ensuit que si l’on fait u=r dans la valeur de U et qu’on la retranche ensuite de celle de P, la diffé- 26.. RECHERCHES 204 rence P — U sera la probabilité que n n’atteindra pas cette même limite. De même, si l’on fait u = r' dans la valeur de U et qu’on la retranche ensuite de la seconde valeur de P du numéro précédent, la différence P — U sera la probabilité que n sera au-dessous de la limite fxq-\-r \/2f/.pq. En appelant Q en Q' ces différences, on trouve dt + e~ 1 ' dt + g—g_ e-r* 3 y ixftpq ’ 3 \/ ixfipq — e~ . 8 On se rappellera que, dans ces formules, r et r' sont des quantités positives, très petites par rapport à \/fx; en sorte que les limites de n auxquelles ces probabilités Q et Q' se rapportent diffèrent peu du produit pq , l’une en plus et l’autre en moins. En même temps, les valeurs des quantités T et cT' quelles renferment, seront très petites par rapport à r et r'; et si l’on y met /a à la place de fx - j- 1, on aura j, _ p — qj2 i jv _ p — 9 r \ 3 y i^pq 3 y ippq 80 . En divisant par fx les limites de n auxquelles se rapporte la formule 17, et ayant égard à ce que U représente, on aura q — \J*£ 3 . pour les limites du rapport ^, dont la probabilité est R. Si donc, on néglige la fraction- , il en résultera que cette quantité R, déterminée par la formule 17, est la probabilité que la différence ^ — q, se trouvera comprise entre les deux limites =F “V/’ qui seront aussi, en changeant leurs signes, avec la même probabilité, celles de la différence ^ — p, puisque la somme - ~^ n — p— q, de ces deux différences, est égale à zéro. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 20 5 On pourra toujours prendre u assez grand pour que cette probabilité R diffère aussi peu qu’on voudra de la certitude. Il ne sera pas même nécessaire de donner à u une grande valeur pour rendre très petite la différence 1 — R il suffira, par exemple de prendre u égal à quatre ou cinq, pour que l’exponentielle e~ u ' t l’intégrale J' e~ 1 ’ dt } et par suite la valeur de 1 —R, soient presque insensibles. La quantité u ayant reçu une pareille valeur et demeurant constante, les limites de la différence — — p se resserreront de plus en plus à mesure que le nom- P* bre p, qu’on suppose déjà très grand, augmentera encore davantage; le rapport — du nombre de fois que E arrivera au nombre total des épreuves, différera donc de moins en moins de la chance p de cet événement; et l’on pourra toujours multiplier assez le nombre p des épreuves, pour qu’il y ait la probabilité R que la différence —— p sera aussi petite qu’on voudra. Réciproquement, en augmentant continuellement le nombre p, si l’on prend pour chacune des limites précédentes, une grandeur constante et donnée l, c’est-à-dire, si l’on fait croître u dans le même rapport que vV> l a valeur de R approchera indéfiniment de l’unité; en sorte qu’on pourra toujours augmenter assez le nombre p des épreuves, pour qu’il y ait une probabilité aussi peu différente qu’on voudra de la certitude, que la différence ^—p tombera entre les limites données de Z. C’est en cela que consiste le théorème de Jacques Bernouilli, énoncé dans le n° 49 - 81. Dans le calcul précédent, nous avons exclu n° 78 le cas où l’une des deux chances petq est très petite, qui nous reste, en conséquence, à considérer en particulier. Je suppose que q soit une très petite fraction, ou que ce soit l’évé- ment F qui ait une très faible probabilité. Dans un très grand nombre p d’épreuves, le rapport - du nombre de fois que F arrivera à ce nombre p sera aussi une très petite fraction; en mettant p — nk la place de m dans la formule 9, faisant ao6 RECHERCHES et négligeant ensuite la fraction -, la quantité contenue entre les parenthèses, dans cette formule, deviendra i + » + ^+'-=-3 +_- ~ ' 1 I .2 1 . .n En même temps, on aura on pourra remplacer par l’exponentielle e ~ ", le premier facteur de cette valeur de p m , et réduire le second à l’unité; par conséquent, d’après l’équation 9, nous aurons, à très peu près, \ 1 . 2 . e ta 9 pour la probabilité qu’un événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite - , n’arrivera pas plus de n fois dans un très grand nombre p d’épreuves. Dans le cas de n = 0, cette valeur de P se réduit à e ~ “ ; il y a donc cette probabilité e~“ que l’événement dont il s’agit n’arrivera pas une seule fois dans le nombre p d’épreuves, et conséquemment, la probabilité 1-e - " qu’il arrivera au moins une fois, ainsi qu’on l’a déjà vu dans le n° 8. Dès que n ne sera plus un très petit nombre, la valeur de P différera très peu de l’unité, comme on le voit, en observant que l’expression précédente de P peut être écrite sous la forme P= 1 I . . . R-f> I \ * A» n -f- 2 + » + ».R + 3 + elC Si l’on a, par exemple, co— 1, et qu’on suppose n=io, la différence 1 — P sera à peu près un cent-millionième, de sorte qu’il est presque certain qu’un événement dont la chance très faible est - à chaque SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 207 épreuve, n’arrivera pas plus de dix fois, dans le nombre fi d’épreuves. 82. L’intégrale contenue dans la formule 17 se calculera, en général, par la méthode des quadratures. On trouve à la fin de Y Analyse des réfractions astronomiques de Kramp, une table de ses valeurs qui s’étend depuis u = o, jusqu’à u= 3 , et d’après laquelle, on a e~ •* dt = 0*00001957729.. pour u — 5 . Au moyen de l’intégration par partie, on trouve 3 , la série comprise entre les parenthèses, sera suffisamment convergente, du moins dans ses premiers termes, et cette formule pourra servir à calculer les valeurs de l’intégrale. On a aussi et en développant l’exponentielle e~ 1 ' suivant les puissances de t % , on aura u’ C -t* j. u , “ 5 1 e dt — u -=-f-— _ J o i .3 3 .7 -f-etc.; série qui sera très convergente pour les valeurs de u moindres que l’unité. Si l’on veut calculer la valeur de u pour laquelle on a R = ;, on fera usage de cette dernière série; et d’après l’équation 17 on aura u u* 773 u’ .2 5 1. 2 . 3 .7 -f- etc. = y s/it — e— u* 2 1 / 2 ftpq RECHERCHES 208 Eu désignant par a la valeur de u qui satisfait à cette équation, abstraction faite du deuxième terme de son second membre, nous aurons ensuite u = a I 2 y/ inpq ’ aux quantités près de l’ordre de petitesse de -. Après quelques essais, on trouve a = 0,47^5 pour la valeur approchée de a; d’où il résulte qu’il sera également probable que la différence ™—p tombera en dehors ou en dedans des limites =to, 4 7 65 . Pour une valeur quelconque de u, il y a la probabilité R que la différence des deux quantités ^— p et ^— q, aura pour limite le double de ± u \f^, si donc on a p =9 = £, il y aura une probabilité égale à £ que la quantité —-, sera comprise entre les limites h , f 0,6739 1 \ V ^ r’ par conséquent, lorsque les événements E et F ont la même chance , il sera également probable qne la différence m — n entre les nombres de fois qu’ils arriveront, surpassera 0,673g. \/fx —1, ou sera moindre, abstraction faite du signe. Ainsi, quand deux joueurs A et B jouent l’un contre l’autre à jeu égal, un très grand nombre de parties, un million par exemple, il y a un contre un à parier que l’un d’eux, sans dire lequel, gagnera 674 parties de plus que l’autre. C’est dans cette différence qui peut également favoriser les deux joueurs, que consiste la part du hasard. Mais si, à chaque partie, la chance p de A surpasse la chance q de B, il y SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 209 aura une probabilité R, toujours croissante avec le nombre p. , que A gagnera de plus que B, un nombre t up — q±iu\/2ppq ; et comme le terme p p — q, qui résulte de la différence d’habileté des deux joueurs, croît proportionnellement au nombre des parties, tandis que le terme ambigu croit seulement dans le rapport de la racine carrée de ce nombre, il s’ensuit que le joueur le plus habile, ou qui a le plus de chance à chaque partie, finira toujours par l’emporter sur l’autre , quelque petite que soit la différence/? — q. 83 .Dans ce qui précède, nous avons supposé connues les chances p et q des événements E et F, et nous avons déterminé, avec une grande probabilité et une grande approximation, les rapports — et -, quand le nom- bre u des épreuves est très grand. Réciproquement, lorsque ces chances ne seront pas données à priori, et que les rapports — et - auront été observés, les formules que nous avons trouvées feront connaître les valeurs très probables et très approchées des inconnues p et q. Ainsi, il y aura la probabilité R, donnée par la formule 17» que la chance p de E est comprise entre les limites — ± u \J Si R diffère très peu de l’unité, la fraction p sera donc à très peu près et très probablement égale à —, et q à en mettant donc — et - à la place de p et q dans le p p ft ft r 11 terme ambigu de ces limites et dans le dernier terme de la formule 17, qui ont déjà V/* pour diviseur, il en résultera R — 4^ r°° er~“ dt + \J y sr J » — e ~ u% , 2 xmn 9 O9 pour la probabilité que la chance p de E est comprise entre les limites m u fimn b pyp' Lorsque m , n, p,, seront de très grands nombres, on pourra, en général, se servir des valeurs approchées — et - de p et q , pour calculer la 27 210 RECHERCHES probabilité d’uu événement futur, composé de E et F ; par exemple, la probabilité de l’arrivée m' fois de E et n fois de F, dans un nombre p! ou de nouvelles épreuves, pourvu que pt! soit très petit par rapport à u ; et cela étant, si /x est néanmoins un très grand nombre , on pourra employer la formule 17 en mettant fx', —, -, au lieu de fx, p, q , dans cette formule et dans les limites auxquelles elle se rapporte, elle deviendra R = 1 dt - 4- ==. e~ u V/ 27 Tfl' 20 et elle exprimera la probabilité c^ue le nombre n' sera compris entre les limites * ft. n u ,—-,— — z+z - V2U mn, U 1 fA où l’on a mis — au lieu du plus grand nombre entier contenu dans ce rapport. Quelque approchées que soient ces valeurs — et -de/? et q, fA fA comme elles ne sont que probables et non pas certaines, on n’en pourra plus*faire usage, ainsi qu’on l’a vu précédemment n° 71 , quand le nombre fx des épreuves futures aura une grandeur comparable à celle du nombre /x. C’est pourquoi, nous allons considérer d’une autre manière la question des chances p et q de E et F, déduites des événements observés, et appliquées ensuite à la probabilité des événements futurs. 84. On suppose toujours que l’événement observé soit l’arrivé m fois de E et fois de F, dans un très grand nombre /tou m - f- n d’épreuves, pendant lesquelles les chances p et q de E et F n’ont pas varié. Il y aura alors, d’après ce qui précède, une’très grande probabilité que ces chances inconnues différaient très peu des rapports — et - que l’on pourra prendre, en conséquence, pour les valeurs approchées de p et q. Ces chances étant d’ailleurs susceptibles d’une infinité de valeurs croissantes par degrés infiniment petits, la probabilité d’une valeur exacte de p et de la valeur correspondante de q sera une quantité in- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. an finimefit petite, qu’il s’agira de déterminer, du moins pour chacune des valeurs de p et 9, qui s’écartent peu de - et - et que nous aurons seule- H" t* ment besoin de connaître. La quantité Q, déterminée par la première formule 18, étant la probabilité que le nombre n est inférieur à fiq — r\/’ elle est également la probabilité que la chance inconnue q de l’événement F, arrivé n fois dans p épreuves, est supérieure à ^ + r y~- t ou bien à -f. - \/ —2. en substituant dans le second terme de cette limite, à la ^ fi V fi place de p et q, leurs valeurs approchées — et -. Si l’on met r— -dr au lieu de r dans cette formule, et que l’on conserve seulement les infiniment petits du premier ordre, Q— ^dr sera donc aussi la probabilité n r / a mn / 2mn dr , . dQ que q surpasse y —- y —— ; par conséquent,— ^ex- primera la probabilité infiniment petite que l’on a précisément n , r /zmn = Z+ZVlT’ pour toutes les valeurs de r positives et très petfîes par rapport à vV> comme le suppose l’expression de Q. De même, la seconde formule 08 exprimera la probabilité Q' que la chance q est supérieure a2 — 2 ^2122 en y mettant r'-\-dd au lieu de r , on aura donc Q' + ^ dd pour la probabilité que la valeur de q surpasse - — - —22 — par conséquent, dd sera la probabilité que q est supérieure à la seconde limite sans l’être à la première, ou que l’on a précisément n r / = ï—*v- arnn 212 RECHERCHES r' étant aussi une quantité positive et très petite par rapport à V/ 4 * Mais par les règles connues de la différentiation sous le signe f, e t en substituant — et - à la place de p et q dans les derniers termes des for- J** ^ mules 18, on a dQ ^ f 1 - f- d '/' e-r+/*-j 2 n — m r dr V* V dr J n 3 1/ 2 Kftmn do; = -i=i f \ d ’fe-r-*-•- 2 n — mr dr V * K dr J 3 V iTrftmn D’après les valeurs de T et S 1 ', et en y faisant les mêmes substitutions, on a aussi _ 2 m — ri r 1 _ 2 m — ri ri d r 3 j/ iftmn ’ dri 3 \/ ifimn ’ d ailleurs, en bornant, comme précédemment, l’approximation aux termes de l’ordre de petitesse de la fraction et négligeant, en conséquence, ceux qui ont [/. pour diviseur, nous aurons Ç — Cr+fJ* - e~ ’ ? = ? + V En les substituant dans la valeur de n, il vient n — u ' C 1 — £' + £' • t t Les quantités et étant de l’ordre de petitesse de la fraction —L ou — 1 =, on aura, en séries très convergentes, Vf* Vf* '°s0 -£ = -£-0-0-. d’où l’on déduit • - *’ = , + v 1 ' ='•"- » 3m » e etc., t*'* 1 ',* in' 3 n' e etc. Mais à cause du facteur U r de n', qui est déjà de l’ordre de petitesse de j^r,'on pourra négliger les quantités de cet ordre dans les deux autres facteurs ; ce qui permettra de réduire toutes les exponentielles à l’unité, à partir de la troisième, dans chacun de ces 216 RECHERCHES deux produits. A ce degré d’appi'oximation, on aura donc n = U'e 2rrfn' Par la même raison, on pourra négliger le second terme de la formule 21; au moyen de quoi la formule 22 deviendra n '=7-; u '/ t 1 V , dv. Quoique cette intégrale ne doive s’étendre qu’à des valeurs de v très petites par rapport à Vp; si l’on observe qu’à raison du facteur exponentiel, le coefficient de dv sous le signe f devient tout- à—fait insensible pour les valeurs de v comparables à y/f*» on en conclui’a que sans altérer sensiblement cette intégrale, on peut l’éteudre à de semblables valeui’s de v, et la prendi’e, comme nous le ferons effectivement, depuis v — — 00 jusqu’à v = 00 . Or, en mettant mh et nk au lieu de m' et n! dans la valeur de v /t on a imn v ' \Z-im n n cela étant, si l’on fait vy^i+Zi- Mft z= x, dv=.—^=^, y/ 2 m'ri 1 -f -h \/1 + h les limites de l’intégrale l’elative à la nouvelle variable x seront encore ± oc, et il en résultera a’// * n' = — l=r U' e 2mVI+6 , 1 / 1 +h pour la probabilité qu’il s’agissait de déterminer. Dans le cas de a = o, on aui’a simplement 23 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 217 ce qui coïncide, d’après ce que U' représente, avec le résultat qu’on a trouvé d’une autre manière dans le n° 71. 186. Pour le second exemple de l’application des formules 21 et 22, nous supposerons que n' soit la probabilité que la différence ^ — - n’excédera pas la quantité —quelle devait atteindre f* f* Ÿ f* dans l’exemple précédent. La quantité ÜI sera en fonction des chances p et q de E et F, la probabilité que dans les p' épreuves futures, F n’arrivera pas plus d’un nombre n ' de fois, égal à — + a vV> et que E aura lieu f* un nombre m! de fois, au moins égal à — — a \/i. Sa valeur sera donc donnée par l’une ou l’autre des formules 15, en y mettant p ', m, n , au lieu de p , m , n. Pour ces valeurs extrêmes de m' et n', on aura —— aft ' \ m’+, m\ mny/ï' en bornant toujours l’approximation aux quantités de l’ordre de petitesse de ou de D’après les valeurs de p et q dn numéro précédent, on aura, en même temps, == — C1 -J- v \J—\ ; m \ 1 V mn si donc on limite la variable v de manière qu’on ait v — — , selon m - 1 p ^ m 1 que la constante a sera positive ou négative; par conséquent, 28 RECHERCHES 218 dans le premier cas, nous aurons n = 1-~ r e-“dt {/* J k 2 ri+ri o—k 1 3 \A infini n' en vertu de la seconde équation i 5 , et dans le second cas, \/wJ k + 3 l/a wft’m’n' ’ eu vertu de la première ; k étant une quantité positive donnée par l’équation 12, ou dont le carré est 4 k * = ri log - 7 + rri + 1 log 1 . Des valeurs extrêmes de rri et ri, et de celles de p et q, qui doivent être employées les unes et les autres dans ces formules, il résulte ri , m' 4 1 1 P=yir + -', en faisant, pour abréger, ri/ Vri y fi riri+ 0 v. Cette quantité v' sera de l’ordre de - ; on aura donc, en séries très VP convergentes, log}= logT^-; , ri + 0 v ' _ l ri + »* /* _ 1 ri+ QV 3 ri 2 n' 3 3 ri 6 etc., loe D — loe m + 1 - 4- + — I * , 1 ri-h QV 3 ^ ri- f-1 ^ m' 4-1 2 m' 4. 1* ’ 3 m'-f-i s etc., d’où l’on déduit, au degré d’approximation où nous nous arrêtons, rifi'4y * 2m' ri 3 m' a ri* ! et ensuite . IJ I 2 rri — rik’ ~J SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, en ayant égard à la valeur de v', et faisant, pour abréger, 2, 9 a fi ^ iniri v f*W mn fit \/ fitiri ri A cause de la limite cju’on vient d’assigner à v, cette quantité k! sera de même signe que a; pour que la valeur de k soit positive, il faudra donc prendre le signe supérieur ou inférieur devant son expression, selon que a sera une quantité positive ou négative. Le second terme de cette valeur de k sera aussi de l’ordre de petitesse de — Vf par conséquent, nous aurons e~ l 'dt ± 2 m' rik'* e _ k .,' 3 ipt'm’ri En même temps, les valeurs précédentes de n deviendront n n V/ I Z '* 00 -=. I e~°dt - f- n J K I /' oô 7%f-^" d,+ in' l/ infini ri o-K' V infini ri A'*. et, eu vertu des formules ai et 22, les valeurs correspondantes de n' seront n' = f e~ v, dv —- r° f e- t, — v 'dtAv -{- 2W - f^'- V 'dv ÿnJ n J k' J inpim'ri J _ , r , vrfp _ . r y 3 ]/ QTTftmn \J ÿ * J K J / 9 uri n' = - r° f’T V - V 'dtdv 4 - f n J —i J y/ infini ri J - a m -"L P fe - 3 n y/ iftmnJ — KJ dv Les exponentielles e ~ v ', er- t '— v ' t rendant insensibles les 38.. 220 RECHERCHES coefficients de dv sous les signes f, au-delà de la limite assiguee à v, il s’ensuit que sans altérer sensiblement les intégrales relatives à cette variable, on pourra les étendre, comme plus haut, depuis v = — oo jusqu’à v = oo . Soit, en outre, -4£===fcC, -rf 0 rf„ *• J c J —oo 2n ' e - c ' + ^ - > + y>'dv V/ l’x^rriri J — + r r e-o'+^-i'+yy'sdWv, 3r\/ immn J C J — 00 ^=i r r e - * + i rj C J — oo 4- in _ Ç g — C' — iyCv—d + >' v 'd v m ri J — oo V/ 2 ^rrii -^=irr , - s — 3 ry iumn J C J — » 22 r SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Les intégrations relatives à v s’effectueront sans difficulté , en sorte que la probabilité 11' qu’il s’agissait de déterminer ne renfermera plus qu’une intégrale simple relative à 0 . A cause de a = rfc S V imri la première valeur de II' sera la probabilité que le nombre n' n’excè- dera pas — -f- £ \J -, qui surpasse très peu — , et sa seconde valeur exprimera la probabilité que n! n’excèdera pas n — — € ^/- m , n qui est un peu moindre que 87. On peut remarquer qu’à raison des limites dh 00 , relatives à v, les deux premières intégrales sont les mêmes dans les deux valeurs de n', et la troisième est la même au signe près. Il en résulte qu’en appelant 'dWv ; •* j c J — » et cette quantité * yt f/ ^ = les limites relatives à la nouvelle variable z seront toujours ±03, et nous aurons , —p = c f-j- - t/ •» jl m,n, f *i V l*i en désignant cette différence par z, on en déduira p,, jyr , v . V %mji K p p Tn et si £ est une petite fraction positive, et qu’il s’agisse de déterminer la probabilité que p, excédera p d’une quantité au moins égale à e, il ne faudra donner à la variable z que des valeurs positives qui ne soient pas moindres que é. Cela posé, les probabilités infiniment petites des valeurs précédentes de p et p,, seront Y dv et le coefficient V étant donné par la formule 21, et V, désignant ce que cette formule devient quand on y met m,, n,, v,, au lieu de ft, m, n, v. La probabilité du concours de ces deux valeurs sera le produit de V dv et V,dv t ; et si l’on appelle À la probabilité demandée, elle sera exprimée par une intégrale double, savoir * = ff\V,dvdv,. Pour plus de simplicité je négligerai le second terme de la formule 2 9 226 RECHERCHES 21; et il en résultera X—-ÇÇe - v '- v * dvdv t . Si l’on veut substituer, dans cette intégration, la variable z à c,, il faudra prendre pour dv x la différentielle de la valeur précédente de v,, relative à z; et, la variable p, étant ici supposée croissante, il faudra, pour que z le soit aussi, changer le signe de dv t ; en sorte que l’on aura On aura, en outre, dv x p 1 V/2 m,n, dz. V % - f V,* P a ft^m n\ %v t—z , *, 3 y/ mn m,n,ft\/ 2 fi , 3 2 m t n. L’intégrale relative*à v pourra s’étendre, comme dans les questions précédentes, depuis p = — co jusqu’à v = 00. En faisant - - - - - - —— — _. — - ' tX 3 ft[/y im x n x y pïmjii+itfmn dv = ^ y'fimji , dx » % les limites relatives à la nouvelle variable x seront encore ± oc ; l’intégrale relative à z ne devra s’étendre que depuis z = jusqu’à z = 30 ; et comme on aura * n faisons aussi e — g, et non pas qu’on ait p, — p > t, ou p, — p = e. Dans le cas de g = cP, la quantité u est nulle, et les deux valeurs de A sont A= i, c’est-à-dire, qu’il y a un contre un à parier que p, excède p d’une quantité plus grande que J'. Les formules 26 serviront aussi à calculer la probabilité que la chance inconnue p , surpasse une fraction donnée. Pour cela , ie fais, dans l’équation 25 , w * m _ ^ _ ni, ^ _ ft ’ ’ p= 30 » 29.. 228 RECHERCHES ce qui la change en celle-ci vVi . y' 2 m,n, Mais le nombre p étant supposé infini, la chance p est certainement égale au rapport — ou à la fraction ; par conséquent, A est alors la H" probabilité qu’on ap, > g + a. En prenant, pour plus de simplicité, a au lieu de 6 -f- et mettant aussi p, m, n, à la place de p, , m,, n„ on aura u r-l m\ u y p /*/ y/imn ' 3 7 et selon que la différence a -sera positive ou négative, la pre- mière ou la seconde formule 26 exprimera la probabilité que la chance inconnue d’un événement arrivé m fois, dans un très grand nombre p ou m + n d’épreuves, excède la fraction donnée a>. 89. Afin de donner une application numérique des diverses formules qu’on vient d’obtenir, je prendrai pour exemple l’expérience de Buffon qui nous a déjà servi dans le n° 5o. L’évènement E sera alors l’arrivée de croix, et F l’arrivée de pile, dans une longue série de projections d’une même pièce. D’après cette expérience, on a eu m = 2048, =1992, p = pour les nombres de fois m et n que E et F sont arrivés dans le nombre pt, d’épreuves successives. En substituant ces nombres dans la formule 19 5 et prenant u = 2, on aura 2 y 7T dt — 0,00468, On tro en même temps, R = o,99555. 0,50693 3= 0,02225, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 229 pour les limites de la valeur de p, auxquelles cette formule se rapporte ; en sorte qu’il y a la probabilité' o,g9555, ou à très peu près 224 à parier contre un, que la chance inconnue p de l’arrivée de croix, est comprise entre 0,48468 et o,52gi8. Si l’on veut connaître la probabilité qu’elle surpasse ^, ou que la chance de croix est supérieure à celle de pile, on substituera les valeurs précédentes de , m, n, dans la formule 27, et l’on y fera co = en prenant le signe inférieur, et par conséquent la seconde formule 26, on aura m = 0,62298, A =o,8io43, 1—A = 0,18957; ce qui montre qu’il n’y a pas tout-à-fait cinq contre un à parier que la chance de croix soit plus grande que L’expérience dont nous nous occupons peut être divisée en deux parties, l’une composée de 2048 épreuves, l’autre en contenant 1992 ; dans la première partie, croix a eu lieu 1061 fois et pile 987" fois ; dans la seconde partie, croix est arrivé 987 fois et pile ioo5 fois or, d’après le résultat de l’expérience totale, et au moyen de la formule 24, on peut aussi calculer la probabilité que les nombres des arrivées de croix ou de pile ont dû être compris entre des limites données, dans les deux expériences partielles. Pour cela, on fera, dans cette formule et dans les limites auxquelles elle répond, J — ^ — o, 5 o 6 9 3, ^ = ^=o,4 9 3o 7 ; , . , , m ' . n cest-a-dire que Ion y mettra pour les rapports -y et -7, qui ne sont pas censés connus, leurs valeurs approchées, résultantes de l’expérience totale; ce qui est permis, attendu que m' et n' n’entrent que dans des termes qui sont de l’ordre de petitesse de On y mettra Vf* aussi pour f*le nombre total 4040. Relativement à la première partie 23 o recherches de l’expérience, on aura , en outre , fi ’ — 2048; et si l’on prend , comme plus haut, u = 3 , on trouvera ^ = 0,99558, pour la probabilité que le nombre n' des arrivées de pile a dû être compris entre les limites 1001 =p79^ ce qui a eu lieu effectivement, puisque pile s’est présenté 987 fois dans cette première partie. Relativement à la seconde partie, on aura p ! = 1992; et en prenant toujours u = 2, on trouvera 956. Si l’on fait, par exemple, € = 0,02, il faudra prendre le signe inférieur, et faire usage de la seconde formule 26; on aura de cette manière = o, 11553, A = o,5658g, 1— A = 0,43411; de sorte qu’il y aurait à peine quatre à parier contre trois, que la chance de croix serait plus grande d’un cinquantième, dans la première partie de l’expérience que dans la seconde. En faisant €=o,025, on devra prendre le signe supérieur et employer la première formule 26 ; on aura alors = 0,10925, A = o,4386i, 1— A = o, 56 i 39; et il y aurait moins de un contre un à parier, que l’excès dont il s’agit surpasserait un quarantième. 90. Je placerai ici la solution d’un problème, susceptible d’une application intéressante, et qui sera fondée sur les formules précédentes et sur un lemme que je vais d’abord énoncer *. Une urne A renferme un nombre c de boules, dont a boules blanches et b boules noires, de sorte qu’on ait a-i- b = c. On en extrait d’abord au hasard un nombre l de boules, successivement et sans les remettre, ou toutes à la fois ; ensuite, on en extrait de même * Depuis que la note de la page 61 est imprimée, on m’a fait remarquer que la proposition qu’elle renferme est comprise dans ce lemme, dont j’avais déjà fait usage pour la solution du problème du trente-et-quarante, citée à la page 70. 232 RECHERCHES un nombre /m ou ra -f- n d’autres boules; je dis que dans cette seconde opération, la probabilité d’amener ra boules blanches et n boules noires, est indépendante du nombre et de la couleur des boules sorties dans la première, et la même que si / était zéro. En effet, supposons que l’on effectue les l - f- fM tirages successifs; soient i le nombre total des combinaisons différentes de /+ f* boules qui pourront arriver, i' le nombre de ces combinaisons dans lesquelles les iM dernières boules se composeront de ra blanches et de n noires , /', le nombre de celles dans lesquelles ce seront les f i premières boules qui en renfermeront ra blanches et n noires ; la chance d’amener ra boules blanches et n boules noires, après une extrac- tion de l boules quelconques , sera j , et la chance d’amener ra boules blanches et n boules noires, avant qu’aucune boule ait été extraite de A , aura j pour valeur; or, les deux nombres i' et i, sont égaux; car, en généra, une combinaison qui se compose de Z boules déterminées, suivies de ju boules aussi déterminées, et celle où ces /m dernières boules précèdent, au contraire, les l premières, sont toutes deux également possibles; et, en particulier, pour chaque combinaison dans laquelle les jm dernières des boules extraites de A renferment ra blanches et n noires, il y a toujours une autre combinaison dans laquelle ce sont les u premières boules qui contiennent ces nombres de blanches et de noires, et réciproquement. Lesfractions l - et j , et conséquemment les probabilités qu’elles expriment, sont donc aussi égales; ce qu’il s’agissait de démontrer. On peut vérifier cette proposition de la manière suivante. Les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans A étant a et b, la chance d’amener m boules blanches et n noires dans les m -f- premiers tirages, est une fonction de a , b, m , n, que je représenterai par f{a, b , m, n. Celle d’amener g boules blanches et h noires dans les g-h b premiers tirages sera de même f{a , b, g, h ; ces tirages ayant réduit ara — g et n — h, les nombres de boules blanches et déboules noires que A renferme , la chance d’en extraire ensuite m blanches et n noires dans ra+ ou /m nouveaux SUR LA PROBAbILITÉ DES JUGEMENTS. a& tirages, aura pour expression fa — g, b — h, m, n; le produit de ces deux dernières fonctions sera donc la chance d’amener m boules blanches et n noires, après avoir déjà extrait de A, g boules blanches et h boules noires; par conséquent, si l’on fait la somme des /-f- i valeurs de ce produit, qui répondent à toutes les valeurs entières ou zéro de g et h, dont la somme est l, on aura l’expression complète de la chance d’amener m boules blanches et n noires, après avoir extrait de A un nombre l de boules quelconques. Cela étant, il s’agira de faire voir que cette chance est indépendante de l, et égale à Ja, b, m , n, c’est à-dire de montrer que l’on a jci,b, rn, n= t g,hJ{a—g,b — h, m, n ; la somme 2 s’étendant depuis g = o et h = /, jusqu’à g = L et / b if {a — g, b — h ’ ou, ce qui est la même chose, / » b, g, h f a — g , b—h, m, n = i pm, n 3o € 254 RECHERCHES en supprimant le facteur , commun à tous les termes de scs deux membres; et comme a et b sont des nombres quelconques, on y pourra, si l’on veut, mettre a-J-n et b-\~m au lieu de a et b; ce qui la changera en celle-ci a — g, b — h. Or, son premier membre est le coefficient de \ dans le développement de {x -\-y c ' , son second membre est le coefficient de x a j l , dans le produit des développements de x +j 1 et x ou dans le développement de x-f-j- 1 , comme le premier membre; par conséquent, les deux membres de cette équation sont identiques; ce qu’il s’agissait de vérifier. 91. Supposons actuellement que les nombres a, b, a — m, a—n , soient très grands; les valeurs approchées de ' r e - *0. En mettant pour m etn leurs valeurs précédentes, cette formule devient ensuite \ /ûy7Vy r _ b'a—bc> ✓c -i -S \c*/ Vt»/ L 3ft*a'b* J 6 3o.. 236 On trouvera, de même RECHERCHES a{c— H \ ~ m bc— n \ l -*r , 6 3 a - 6c , û ^ ou bien, en faisant ] on aura, plus simplement J fi, h, m, n = H fi 4,' n t [/2 [ c — fiféabc C* 2 9 Selon que le nombre ser% pair ou impair, la différence n—m sera aussi paire ou impaire. Si l’on désigne par i un nombre entier et positif, et qu’on représente l’excès de n sur m par 2/ ou 2/— 1, l’expression correspondante de t devra être, d’après ces équations 29,, t = 2t"ef y , en faisant, pour abréger, c 5 A- ï^ac — ptuabc SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMElNTS. ü 5 7 et désignant par y l’une de ces deux quantités a — b fie {a — l>fti 2 y/ 2 r — ft fiabc savoir la première quand fi sera pair, et la seconde quand il sera impair. La formule 28, après qu’on y aura substitué celte valeur de t, exprimera donc la probabilité que dans les ft tirages successifs, le nombre des boules noires surpassera celui des boules blanches, d’un nombre d’unités égal à 2 i ou 2/ — 1; conséquent, si l’on y fait successivement r = 1, = 2, = 3 ,. . . jusqu’à ce que l’exponentielle e ~*’ soit devenue insensible, ou, si l’on veut, jusqu’à i = 00, et que l’on prenne ensuite la somme des résultats ; cette somme sera la probabilité que dans ces fi tirages, le nombre des boules noires excédera celui des blanches, d’un nombre pair ou impair quelconque d’unités. En la désignant par s, nous aurons 4 i s a — b c — 2 ] = 2H[i — s 3 \/2 c — pfiabc 2 indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs de t, comprise» depuis t = y - f- 2cf jusqu’à t — 00 , et croissantes par des différences constantes et égales Or, 2cf étaiat, par hypothèse, une très petite fraction, la somme 2 pourra s’exprimer en série très convergente, ordonnée suivant les puissances de cette différence. En effet, si l’on représente par T la fonction de t contenue sous le signe 2, et si l’on observe que cette fonction et toutes ses différentielles s’évanouissent à la limite t = ao, on aura, au moyen d’une formule due à Euler, fc' kl, k"', etc., étant les valeurs de T, —, etc., qui répondent k t = x y. D’après les équations 29, on a d’ailleurs, au même degré RECHERCHES 238 d’approximation que précédemment, t/*a — b 1/2 c — /xftabi , ^ , L _ N c—ftYab ic — fta — b \/2 {a — ni {b — n — -£ — t c — fi a — b ^ 2 c — fiftabc _ en ayant égard à la valeur de T, il en resuite — H = —=rfi — l ~ a ~ ^ c — **> ' v/*- L . t/ 2 c — fi fiabc G- V/2xc — fifiabc. les termes dépendants de k', k" 1 , etc., étant multipliés par H dans l’expression de s , auront é, etc., pour facteurs, et devront être négligés; et à cause de on conclura de ces diverses valeurs s = — r* e-dt — re->*, V*J y en faisant, pour abréger, a — b c — Sfi 7-1-4 >* + 3c 3 _ r 6 2sr c— a* Soit ^ une quantité positive; selon que la quantité sera positive ou négative, prenons v = zhy; à cause de e~dt, e~°dt SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, nous aurons finalement a5 9 5 ° la première valeur de s ayant lieu quand on a y o. En faisant t = y dans la formule 28, et désignant le résultat par cr, on aura 50 iw c — fi fiabc ’ pour la probabilité que dans le nombres de tirages, les nombres m et n de boules des deux couleurs seront égaux entre eux, et à la moitié de p; ce qui n’est possible que quand p est un nombre pair. 92. Après avoir extrait p boules de A, supposons que l’on en extraie p' autres, puis p" autres, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait épuisé le nombre c de boules que cette urne renferme, de sorte qu’on ait c = P + P' + p" + f*'" -t- etc. ; supposons, de plus, que chacun de ces nombres p', p", etc, soit très grand , ainsi que p; et désignons par s’, /' ,etc., ce que devient j, en y mettant successivement p', p", etc., au lieu de p, et faisant usage de la première ou de la seconde formule 5o, selon qu’à l’origine des tirages, le nombre b des boules noires sera plus grand ou plus petit que le nombre a des boules blanches , contenus l’un et l’autre dans A ; ce qui rendra la quantité y négative ou positive. D’après le lemme du n° go, les chances d’amener plus de boules noires que de blanches, dans ces tirages successifs des nombres de boules p, p', p", etc., seront les quantités s, s', s", etc.; eu sorte quelles ne varieront qu’à raison de l’inégalité de p, p', p", etc., et seraient toutes égales, si ces nombres étaient égaux. Soit r la moyenne des valeurs ' de s, s', s", etc., c’est-à-dire, r =-s+ /+ s " + etc, r4o RECHERCHES en représentant par a. le nombre total des tirages. Si Ton suppose encore que a soit très grand, et si l’on appelle j le nombre de ces a tirages dans lesquels les boules noires excéderont les blanches, la probabilité que j se trouvera compris entre des limites données, sera la même, en vertu de la première proposition du n° 52 , que si toutes les chances s , s', s", etc., étaient égales entre elles et à leur moyenne r. Par conséquent, en mettant a, r, i — r, au lieu de a, q , p , dans la formule 17, nous aurons R = 1- - - f e~'dt H- - e ~ u ', \/ ir J u \/ nrar{ 1 — r pour la probabilité que le nombre j sera contenu entie ar us/zar 1 — r , ou égal à l’une d’elles; u étant un petit nombre par rapport k \ u. Telle est la solution du problème que nous nous proposions de résoudre. L’application dont elle est susceptible sc rapporte aux élections des députés dans un grand pays, comme la France, par exemple. Voici en quoi elle consiste. Le nombre des électeurs, dans la France entière, est représenté par c; celui des électeurs qui ont une opiniou, par a; celui des électeurs de l’opinion contraire, par Z» ou c — a. On partage le nombre total c en un nombre a de collèges électoraux, dont chacun élit un député, de telle sorte que le député élu dans un collège soit de la seconde on de la première opinion, selon que le nombre des électeurs appartenant à l’une ou à l’autre y sera prépondérant. Cela étant, on demande la probabilité R que le nombre j des députés qp appartiendront à la seconde opinion, sera compris entre des limites données, en supposant que le partage des électeurs en un nombre a de .colleges, soit fait au hasard, c’est-à- dire en supposant qu’on prenne au hasard sur la liste générale, un nombre p d’électeurs pour former un premier collège, un nombre p' pour former un second collège, un autre nombre p'' pour SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 24 1 en former un troisième, etc. ; et si l’on prend pour les limites de j celles que l’on vient d’écrire, la probabilité demandée R s’exprimera par la formule précédente. Quoique chaque collège électoral se compose des électeurs d’un même arrondissement, et non pas d’électeurs pris au hasard sur la liste générale, ainsi que nous le supposons, il peut être utile cependant de savoir ce qu’il arriverait dans cette hypothèse; c’est ce que nous allons montrer par des exemples. {93. En France, le nombre des collèges électoraux, égal à celui des députés, est 4^9» et l’on peut évaluer à environ 200000 le nombre total des électeurs. Je supposerai que tous les nombres ft, /, etc., soient égaux; en prenant pour p un nombre impair, je ferai a = 4 5 9> f* = 4 35 > c = ap= 199665. Je supposerai aussi qu’on ait a = 94835, b — io483o; de sorte que la différence entre la majorité et la minorité soit à très peu près le vingtième du nombre total des électeurs. La quantité y sera négative; on fera donc v = — y; en prenant la seconde des deux valeurs de y du n° 91, il en résultera = 0,77396, -~r f e—'dt = 0,1 3684 V V J u et, en vertu de la première formule 3o, on aura s = 0,85426, 1 — s= o,i 4574- La chance d’une élection dans le sens de la majorité des électeurs surpasserait donc fj; et la minorité, quoiqu’elle ne diffère pas beaucoup de la majorité, ne pourrait guère espérer d’élire plus des des députés. En mettant ces valeurs de s et 1 — s à la place de ret 1 — r dans l’expression de R du numéro précédent, 3i 242 RECHERCHES faisant a = 4^9» et prenant u = 2, ou trouve R = 0,99682', pour la probabilité que le nombre des députés élus par la majorité, serait compris entre les limites 3g2 ^=21, et ceux de la minorité entre les nombres 67 ±21. L’amplitude de ces limites est considérable relativement au nombre a, parce que a n’est pas extrêmement grand. Je suppose toujours que la différence b — a soit à peu près le vingtième de c ; mais je prends pour fx un nombre pair. Je fais, en conséquence, a — 4^9, p = 436, c = afJL = 200124, et, en outre, a = g5o64, b = io5o6o. On aura toujours v = — y ; mais il faudra prendre pour y la première valeur du numéro 91. De cette manière, on trouvera 1 r e = 0,74006, —^ / e~ l 'dt = 0,14764; y * J v et il en résultera s = 0,84279, 1 —s = 0,15721. Mais p étant un nombre pair, le cas de m = n est possible; d’après la formule ^3i, sa chance est a = 0,02218; et si l’on en ajoute la moitié à la valeur de s, on a s = o,85388; quantité très peu inférieure à celle qui a lieu quand f* est impair. Afin de montrer l’influence de l’inégalité des nombres d’électeurs SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 245 dans les différents colleges, je supposerai que la moitié du nombre total des électeurs soit répartie également dans le tiers des collèges, et l’autre moitié dans les deux autres tiers. Pour appliquer les formules précédentes au premier tiers, je ferai alors i=i 55, f* = 654, ji= 100062; et, pour les appliquer aux deux derniers, ja=3o6, fx= 327, 3 af* = 100062. Je supposerai, en outre, a =g5o6;?, b= io5oÔ2, c = 200124; de manière que la différence entre la majorité et la minorité soit toujours à peu près un vingtième du nombre total des électeurs. Dans le premier cas, où f* est un nombre pair, on trouve s = 0,89429, = 0,01376, s - f- i o" = 0,90 î 17; dans le second, où p est impair, on obtient s = 0,81981 ; il en résulte donc r = j 0,90117 + 0,81981 = 0,86049, pour la chance moyenne d’une élection dans le sens de la majorité; laquelle surpasse un peu, comme on voit, celle qui a lieu quand tous les collèges sont composés d’un même nombre d’électeurs. Lorsque la différence b — a entre la majorité et la minorité vient à augmenter, la chance des élections dans le sens de la minorité diminue très rapidement, de telle sorte qu’elle est bientôt presque nulle. Pour le faire voir, je suppose les électeurs répartis en nom- 3i.. 2 44 RECHERCHES bres égaux dans tous les colleges; je prends pour a, jx, c, les mêmes nombres que dans le premier exemple ; et je fais, en outre, a = 8 g 835 , b= 109830; ce qui rend la différence b — a à très peu près le dixième du nombre c, et double de ce qu’elle était dans cet exemple. Je trouve alors 5 = 0,98176, 1 — 5 = 0,01824; en sorte que la chance d’une élection dans le sens de la minorité n’est plus que d’à peu près un soixantième. A cause de la petitesse de s, c’est à la formule du n" 81 qu’il faudra recourir pour déterminer la probabilité P que le nombre de fois qu’une telle élection aura lieu dans le nombre total des collèges électoraux, ne surpassera pas un nombre donné n. En faisant, dans cette formule , où = a 1 — 5 = 8,3715, n = i 5 , on en déduit P = 0,98713 , 1 — P = 0,01287 ; ce qui fait voir qu’il y aurait à peu près cent à parier contre un que la minorité n’élira pas plus de i5 députés. En élevant la différence entre la majorité et la minorité à 3oooo, c’est-à-dire aux trois vingtièmes du nombre total des électeurs, on trouve que la chance 1 — 5 s’abaisserait au-dessous d’un millième, et qu’il serait fort probable que la minorité n’élirait pas un seul député. S’il en était ainsi, le gouvernement représentatif 11e serait plus qu’une déception, puisqu’une minorité de 90000 sur 200000 électeurs ne serait représentée que par un très petit nombre de députés, et qu’une minorité de 85ooo n’aurait plus qu’une très faible chance d’avoir un interprète dans la chambre élective. Il suffirait que dans l’intervalle de deux sessions, trois vingtièmes de la totalité des électeurs changeassent d’opinion, pour que la chambre entière passât de la SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 24 ^ droite à la gauche, d’une opinion à l’opinion contraire. Mais les électeurs dont chaque college est composé ne sont pas pris au hasard, comme notre calcul le suppose, sur la liste des électeurs de toute la France; et dans chaque arrondissement, l’opinion prépondérante se forme et se maintient par des causes particulières, telles que les intérêts de la localité, l’influence du Gouvernement et celle de quelques citoyens. Toutefois, il était bon de signaler l’extrême mobilité que le hasard pourrait produire dans la composition de la chambre élective, pour de très petits changements dans la proportion des électeurs qui ont une opinion et de ceux qui appartiennent à l’opinion contraire. 246 RECHERCHES v\> vvn u\wv\\wwv\^wsm\>\w\\\wwv\>ww vvvv\uv\wu\\vn\\>\V'\\w\+q % = 1,... p^+q^i— 1. Appelons U la probabilité que E et F arriveront suivant un ordre quelconque, m fois et n fois. D’après la règle du n° 20 , U sera le coefficient de u m o“ dans le développement du produit up, -h vq Y up t + vqj. .. i up f + vq^ . Or, si l’on fait u = e?Ÿ—' f v=e~ X V—> f le terme U"V" de ce produit deviendra Ue m ~ n x V—' f et tous les autres termes renfermeront des exponentielles différentes de e m — n *V— d’où l’on conclut qu’en désignant ce produit par X, en le multipliant, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ’ 247 ainsi que son développement, par e~ - n x V '~ 1 dx , et intégrant ensuite depuis x = — jusqu’à x = 7 T, tous ces autres termes disparaîtront, et l’on aura simplement [" Xe — m — ^ = 27rU ; ce qui résulte de ce que si i et V exprimant deux nombres entiers, positifs, négatifs ou zéro, dont le premier sera i =zm — n , on aura Ÿ—>dx=zJ' [ cosj'-t'.r-f- smi'-ix \/— i~\dx~ o, quand i et i' différeront l’un de l’autre, et, en particulier, e ixV—' dx = 27 r, dans le cas de i' = i. Nous aurons, en même temps, u Pi + V ii — cos x - f- p, — q t sinxy/—1 ; et si nous faisons cos 1 x + p, — qtfsln'x = p,', il y aura un angle réel r if tel que l’on ait — cos x = cos r„ H ’ q, sin Æ , =sinr j ; d’où il résultera up t + vq, = f> t . Le signe fi sera ambigu ; pour fixer les idées, nous regarderons cette quantité comme positive. En faisant, pour abréger, P./ = Y > , ’>+ r »+ / a+-• • +r fl —Tt \ 248 • RECHERCHES le produit désigné par X deviendra X = Ye>Ÿ~; et nous aurons, en conséquence, U = — Ç Y cos [j-—m — nx\dx- 1 -——-T Y sin [> — m — nx]dx. Pour des valeurs de x égales et de signes contraires, lesvaleursde le seront aussi, et celles de p, seront égales ; par conséquent, la seconde intégrale définie s’évanouira, comme étant composée d’éléments deux à deux égaux et de signes contraires; et cela devait être, en effet, puisque U est une quantité réelle. Pour des angles x suppléments l’un de l’autre, les angles r t le seront également, d’après les expressions de cosr, et sinr,; la somme des deux valeurs de y — m — nx qui leur correspondront, sera donc pi7r — m — ou imr, et conséquemment le cosinus de jr — m — rix ne changera pas il en sera de même à l’égard des valeurs de Y ; en sorte que les éléments de la première intégrale définie, correspondants à x et w — x > seront égaux, aussi bien que ceux qui répondent à a et — x. En supprimant donc la deuxième intégrale, réduisant les limites de la première à zéro et -j tt, et quadruplant le résultat, nous aurons simplement U = Y cos[^— m — nx\dx. i L intégration indiquée s’effectuera toujours sous forme finie, parles règles ordinaires. Mais quand ^ ne sera pas un grand nombre, cette formule ne pourra être d’aucune utilité pour calculer la valeur de U; quand, au contraire, ce nombre sera très grand, on déduira de cette formule, comme on va le voir, une valeur de U aussi approchée qu’on voudra. 95 . Chacun des facteurs de Y se réduit à l’unité pour x = o, et est moindre que l’unité pour toute autre valeur de x, comprise / 4 - SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 349 dans les limites de l’intégration ; il s’ensuit que ^uand /a. sera un très grand nombre, ce produit sera généralement une très petite quantité, pour toutes les valeurs de x qui ne seront pas très petites, et que Y' s’évanouirait, pour toutes les valeurs finies de x , si /x devenait infini. Il n’y aurait d’exception que si les facteurs de Y convergeaient indéfiniment vers l’unité; car on sait que le produit d’un nombre infini de semblables facteurs, peut avoir pour valeur une quantité de grandeur finie. A cause de sin\r cette circonstance supposerait que l’une des chances des deux événements E et F, ou leur produit p,q lf décrût indéfiniment pendant la série des épreuves. En excluant ce cas particulier, on pourra donc, dans le cas où fx est un très grand nombre, considérer la variable x comme une très petite quantité, et négliger la partie de l’intégrale précédente, qui répond aux autres valeurs de x. de l’intégrale précédente, qui répond En développant alors suivant les puissances de x *, on aura, en série très convergente, Fi = 1 — *PiqtX + 7 pfH — — etc., et, par conséquent, lo g fi = — ipfh*' + f Pfl, — ^P'qt x * A — etc.; d’où l’on conclut logY == — fxk % x % - f* fx j k* — k u x* — etc., en faisant, pour abréger, l’Zptli = 4 2 />iV = pk'\ etc., et étendant la somme 2 depuis aussi Si l’on fait Z 3a RECHERCHES a 5 o que l’on considère la nouvelle variable z comme une quantité très petite par rapport à VV > et qu’on néglige les quantités de l’ordre de petitesse de -, il en résultera Y = D’api’ès les valeurs de p, et de sinr,-, on aura de même n = Pt — Ptqi= h - En conservant seulement les quantités de l’ordre de petitesse de on en déduira d’abord z'h y = z p — q W + —r =, et ensuite cos[7 — m — nx ]=cos zg VT*— sin zg V/*, V,“ où l’on fait, pour abréger, • m / n\ P*-ï-\5-ï = 6' Je substitue ces valeurs de Y et cos [y — ni — 7ix] dans ^ a ^ or " SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 25 l mule i , et j’y mets -d— dz au lieu de dx; il vient Vf* ü = cos Z S v/ ^ t -^ f s5n z & vW s J- Le cas où les valeurs de p t et q t décroîtraient indéfiniment ayant été exclu, k % ne peut être une très petite quantité; pour des valeurs de z comparables à s/p, l’exponentielle er~ k ' s ' sera donc insensible ; et quoiqu’on ne doive donner à cette variable que des valeurs très petites par rapporta s/p, on pourra maintenant, sans altérer sensiblement l’intégrale, l’étendre au-delà de cette limite, et la prendre, si l’on veut, depuis z= ojusqu’à z=oo . D’après une formule connue, on aura alors / Me' e —k’f C os zg vV dz — e ^ k ' > en différentiant successivement par rapport à g et à k, on en déduit _ MS 2 n zg VÏJz=S^f. 5 + f 6 et au moyen de ces valeurs, celle de U devient fig* f4g* U - **— 3 + ?Ç\e~\ k^iru liPÿrfi V 2 k 2 / —— A raison de l’exponentielle e , cette probabilité sera insensible dès que g ne sera pas de l’ordre de la fraction -L-j-mais à cause de Vf* P + 9 = i et m-\- n = ft, cette quantité g ne peut être de cet ordre de petitesse, à moins que cela n’ait lieu séparément pour p — — etq — ~, A* A* qui sont d’ailleurs des quantités égales et de signes contraires; si donc 3a.. 252 on fait RECHERCHES m ki n k& _ 2 kS p - T = ~ v%' q ~ ë ~Vï’ . la probabilité U n’aura de valeurs sensibles que pour des valeurs de 0, positives, négatives ou zéro, ruais très petites par rapport à yV, et il en résultera finalement u = n 75 e -^ 3 + ^ e -*•• W pour la probabilité que les nombres m et n auront pour valeurs m — pp — 0 ÆvV> n = qp - f- 0 Æ \/p, c’est-à-dire, des valeurs qui s’écarteront très peu d’être proportionnelles aux chances moyennes p et q et au nombre p des épreuves. 96. Pour que metn soient des nombres entiers, il faudra que 0 soit un multiple de —* 7 = ou zéro. En faisant 0= o dans la formule 2, kV on aura — x -= pour la probabilité que m et n seront précisément entre ky eux comme p et q. En désignant par t une quantité positive, multiple de faisant successivement dans cette formule 0 = — e t "deux exposants de t pris, l’un dans la première et l’autre dans la seconde somme 2, il est évident que la valeur ma de A pourra arriver d’autant de manières différentes que l’équation n' -\-n" = m aura de solutions distinctes, en prenant pour n' et n" des nombres compris depuis a jusqu’à é ; la probabilité de chacune de ces manières sera le produit des valeurs de N, et N,, qui répondent à chaque couple de nombres n' et n"; par conséquent, la probabilité totale de s = ma> aura pour expression le coefficient de t™ dans le produit des deux premières sommes 2. Ce raisonnement s’étendra sans difficulté aux cas de t = 3, = 4 , etc. Lorsque toutes les quantités N,, N a , N s , etc., sont égales, leur produit se change dans la puissance p de l’un des polynômes qui répondent aux sommes 2 , et ce cas a été considéré dans le n° 17 . Cela étant, par une considération semblable à celle qu’on a employée plus haut, si nous faisons t* = e*V —>, et si nous désignons par X ce que deviendra le produit des sommes 2 , nous aurons n = - f* 2 w J — Soient actuellement iet i' deux nombres donnés, et P la probabilité que la somme s sera comprise entre ia et i'a, ou égale à l’une de ces limites; la valeur de P se déduira de celle de 17 en y faisant successivement ro = i, = i + i,=i + 2 ,.... = i'; et la somme des valeurs correspondantes de e~ V — ayant pour expression 2 sin ^ 0 il en résultera RECHERCHES a 5 6 Pour simplifier cette formule, je supposerai que u> soit un infiniment petit; je prendrai, en même temps, pour i et i' des nombres infinis; et je ferai ioù = c — g, i'cù = c - f- ê, 0 = ax , dû = cadx ; ce te étant des constantes données, dont la seconde sera positive, afin qu’on ait i' > i, comme le suppose l'expression de P. Les limites de l’intégrale relative à la nouvelle variable x seront =b oo . On aura sin 7 0 = j ax; et en négligeant ±7 par rapport à i et à i', cette valeur de P deviendra P = - Xe — c *V—i sin ex —. 4 IC — 00 X ' Les valeurs possibles de A croissant actuellement par degrés infiniment petits, il faudra supposer leur nombre infini, et la probabilité de chacune d’elles infiniment petite; en désignant par a et b des constantes données, et par z une variable continue, on fera donc eta> = a, €cj = b, nu = z; on aura, en même temps, et l’on fera aussi. t na — i; N, = a>/,z, N, = û/,z, N 3 = af jz, etc. Chacune des sommes 2 contenues dans X se changera en une intégrale définie, dont a et b seront les limites; et en prenant a pour la différentielle de z, on en conclura X f.U . /V ,,/=r /, te, 5 pour le produit de /a facteurs qu’on devra substituer dans la formule 4 à la place de X. 98. Cette formule exprimera la probabilité que dans le nombre /u SLR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2 5 7 d’épreuves, la somme des valeurs de A se trouvera comprise entre les quantités données c — t et c - f- e. A la n in “ épreuve, la chance infiniment petite d’une valeur z de A estf n zdz-,et toutes les valeurs possibles de A étant, par hypothèse, comprises entre a et b, et l’une d’elles devant avoir lieu certainement à chaque épreuve, il faudra qu’on ait • f!j' uiz = 1 > • la fonction f t z pourra d’ailleurs être continue ou discontinue, pourvu qu’entre ces limites a et b, elle soit une quantité positive. Si la chance de chaque valeur de z ne change pas pendant les épreuves, la fonction f % z sera indépendante den; et en la représentant par fz on aura x = fi** = 1 • Si, de plus les valeurs de A sont également probables, fz sera une constante qui devra être - ^ , pour satisfaire à la dernière équation. En faisant a —h — g, b = h + g, on aura donc J * g J J g* ’ au moyen de quoi la formule 4 deviendra ou simplement p _ 2 r * 0 / s\ngx-f . , . , p — *Jo \~^r -cos&k-c^dx, 6 35 a 58 RECHERCHES parce que la seconde intégrale s’évanouit comme étant composée d’éléments qui sont,deux à deux égaux et de signes contraires, et que ceux de la première sont^ deux à deux égaux et de mêmes signes. L’exposant pétant uu, nombre entier je vais faire voir que cette valeur de P s’obtiendra toujours sous forme finie, en réduisant la puissance ^ de singx, en sinus u cosinus des multiples degx, au moyen des formules connues, savoir sin? — f* cos/* — 2 gx - f- fl — - ~ cos —4 gx .. L- 1,2 * — *' * 7 . 1 '. 3 ~ C0S ^ 6 + etc -]* . s\of i gx = — i a >i Qinpgx—^sinf/—2^+^=^ sin — 4 g X — 7 .7 7 3 sinfx — \ qui sont composées chacune d’un pombre fini de termes, et dont la première a lieu quand le nombre p est pair, et la seconde lorsqu’il est impair. 99. Pour cela, j’observe que l’on a, comme on sait, J o x 2 7 en preuaut le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que la constante y sera positive ou négative. Soient a et 6, deux autres quantités positives; mettons Çx et €dx à la place de x et dx, ce qui ne changera rien aux limites de l’intégrale ; nous aurons J O X 2 " et en multipliant par d€, et intégrant ensuite depuis £= 1 jusqu’à a5g SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. f £ = a, il en résultera / o °°co S >* — cos a?x ^ = =F I * 1 — a y- 8 Cette équation subsistera évidemment pour y — o, quoique celle dont elle est déduite n’ait pas lieu dans ce cas particulier. Son premier membre est la différence des deux intégrales J' cos etyx ^ et / cos^r^, dont chacune a une valeur infinie. Pour cette raison, il n’est pas permis de les considérer isolément, et de changer la variable x dans l’une, sans la changer dans l’autre. Ainsi, en mettant y djC • • jet — à la place de x et dx dans la première, elle deviendrait r’° dx a / cos yx — ; et en divisant les deux membres de l’équation précédente par i — a, on aurait / dx cos yx— — ce qui serait absurde. La même remarque s’applique à toute intégrale, comme le premier membre de l’équation 8, qui a une valeur finie, résultante delà différence de deux intégrales infinies. Je j^^iplie cette équation 8 par - dy ; puis j’intègre ses deux membres, en assujétissant leurs intégrales à s’évanouir quand y = o ; ce qui donne 2 /'° 0 / • sin*yx\ dx , . y* En intégrant une seconde fois de la même manière, il vient 33 .. 2 ÔO RECHERCHES une troisième et une quatrième intégration donneront de même 2 /'"r . si il etyX . i —dx , j ±-. a - +-if I . . ./* ’ . . .p la première répondant au cas où /tt est un nombre pair, et la seconde au cas où fx est impair. Les quantités C et C' sont des constantes déterminées, qui dépendent de a et ^, et dont les expressions, faciles à former, nous seront inutiles à connaître. Je mets successivement, dans chacune de ces équations, y-{-1 ety—t au lieu de y; et par la soustraction des résultats, j’en déduis 4 f 00 r „ • C0S>x sin IX . 1 dx 1 , *î = * '— HJ.'.J t>+.ng — O'*] i E et E' désignant aussi des constantes différentes de D et D\ En donnant à n les valeurs successives o , 1 , 2 , 3, etc. ; faisant, pour abré- g er > u=^cospgx—/ cosft — 4gx t s-\ 1 . ~ 1 cos y- T s ' n tX cos p — 6 gx + etc. I —— ; —2 v ==^j,in fzgx —Wsin/A — agjr-{- —sin^t — 48 X — —2 . , . , ~ 1 cos yx sintx - sm g - bgx + etc. J ^fï—î ; et désignant par ' et v' ce que deviennent u et v, quand on y change x en , on déduit des équations précédentes ? fT- B '+Si=fn^ = î^^{r+r_r,-r;, KJ O L x**- 1 J X’ ...fi v ' 8 r-r. ,.> , i- a F -i^x_ d- a -i a;!-* Jx’ ;/*- r—r—r y +r;; RECHERCHES 262 F et F' étant encore des constantes différentes de E et E'. On a fait, dans ces dernières équations, r=±>-B*g+*r=FK> +f*g — *g+0 Mzi = fl ~y+f*-g— 4 g-ht ,t > + Pg — % + e T + etc. ; et l’on a désigné par T', ce que T devient quand on y change le signe de g, et par r, et r', ce que deviennent T et T' par le changement du signe de e. Or, en renversant l’ordre des termes de T' et r/, qui sont en nombre fini, il est facile de voir que l’on a T'= T et Y' — T, quand fi est pair, T' = — T et T/ = — r, quand fi est impair; au moyen de quoi les équations précédentes deviennent plus simplement i rVu- + H= 4 T\ jfrg 1 » — a r ~ éz— 1——o a r— r, *J o L T Jx*— • 9 Dans chacune des deux quantités T et T, que ces équations renferment, on devra, d’après l’origine des doubles signes de leurs différents termes, prendre le signe supérieur ou le sigue inférieur d’un terme quelconque, selon que la quantité qui s’y trouve élevée à la puissance fx sera positive ou négative. Maintenant, en vertu des équations 7, on a r Udx , J* r r, = =*= ^ + g — c — e zsp h — g — C — * • Dans le premier des cinq cas qu’on vient d’énoncer, on aura c-j-€> Æ-f-getc — g c-f-eetA — g c - f- g; on devra prendre les signes supérieurs dans T et dans T, ; ce qui donnera r = 2g, r y =2g, P = o. On pourra aussi avoir, dans ce troisième cas, h-\- g h — g, c —g h-\- g; il faudra prendre les signes inférieurs des deux termes de Y /} le signe supérieur du premier terme de T, et le signe inférieur de son second terme ; d’où il résultera r= 2Ù— 2C-f-2é, I\ = — 2g, P = * ±g —£ + !. Enfin, dans le cinquième cas, on aura c — g — g,c-f-g>ù— g, c + é cos x z — z'dzdz; quantité moindre que J' J' f n zf K z'dzdz, ou que J' j t zdz. J' f n z'dz', pour toute valeur de x différente de l’unité; et, par conséquent, moindre que l’unité, puisqu’on doit avoir J' f m zdz= i et pf n z'dz' = i. Cela posé, le nombre p étant très grand, il s’ensuit que dès que la variable x ne sera plus très petite, le produit Y, égal à l’unité pour .r = o, se réduira, en général, à une très petite fraction qui serait lout-à-fait nulle si /x pouvait devenir infini. En faisant abstraction, comme dans le n° g 5 , du cas particulier où Y convergerait vers une quantité différente de zéro *, nous pourrons donc ne donner à x, dans l’intégrale que contient la formule 11, que de très petites valeurs, à la limite desquelles la valeur de Y soit insensible; de sorte qu’en faisant Y = e-S’, la variable 0 pourra être supposée infinie à cette limite; et qu’en substituant cette variable à x dans l’intégration, on devra prendre zéro et l’infini pour les limites de l’intégrale relative à 0. Pour exprimera et dx au moyen de G et d9, je développe les valeurs précédentes de p. cosr, et p. sinr„ suivant les puissances de x. En * Pour l’examen de ce cas particulier et des singularités qu’il présente, je renverrai à mon mémoire inséré dans la Connaissance des Tems, de 1827, et que j’ai déjà cité n° 60 . SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, mettant la lettre z au lieu de z. sous les signes/, et faisant 269 f b = k,, f b z%zdz = k ',, j'\%zdz = k \, etc. nous aurons, en séries convergentes, f. cos r - = 1 — fi *' + 7X34 *'"• ~ etc ’ x i U sin r„ = xk, — k" n + etc. En faisant aussi ^ k' x — A*. = A., g A". — + 2 k 3 n = g., etc. on déduira de ces séries f u — 1 — x*h m x*l m — etc., r. = — x i g u - f- etc.; et de cette valeur de f, on déduira ensuite logp. = — x*h m + x\l a — ï h\ — etc. Faisons encore 2 A»^=f dt , 2 h m — gA, 2 g. — gg, 2 /. 7 ^ — etc. ; les sommes 2 s’étendant, ici et dans tout ce qui va suivre, depuis nz= r jusqu’à n = ; nous aurons logY = — ô* = — x*ph + x* — etc.; x = _ô_ Vfth /à 3 \/ fth == -f- etc. ; dx _ c?j x ~~~ 6 /à 1 + etc.; d’où l’on tire 2 7 o RECHERCHES et l’on aura en même temps et 1 y — ax = — cx -2__ _j_ etc., hÿfth eosj — ex = cos pk — cx - f- -^= sin fik —car+ etc. h y feh Au moyen de ces diverses valeurs, la formule i i devient P = - f e— s cos fik — cx sin ex — n J o 6 + ^W7hf e - > 'MtJ-cxsmexM, ^ en négligeant les termes qui seraient divisés par f*, et conservant x à la place de sa valeur sous les sinus et cosinus. Si nous prenons C = idc, cette formule se réduira à t» 2 C , • fl d6 P = - / e-s sin-= —, * J o \/uh fl y/ uh en supposant que le rapport de € à s/p ne soit pas un grand nombre , ce qui permet de réduire la valeur de ex à son premier terme Or, u étant une constante indéterminée, on a, d’après une forts y/fch mule connue, f e~ s * cos io 5 . Quoique nous ayons supposé n° 97 la chose A susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites a et b, mais inégalement probables; les formules que nous avons obtenues n’en sont pas moins applicables au cas où le nombre de valeurs possibles de A est limité; et pour cela, il suffira de considérer comme des fonctions discontinues , les fonctions^ z, f t z,fsZ , etc., qui expriment les lois de probabilité des valeurs de A dans les fi épreuves successives. Soient, en effet, c ,, c,, c Sf ... c,, un nombre v de valeurs de z comprises entre a et b; supposons que la fonction f m z soit nulle pour toutes les valeurs de z qui ne sont pas infiniment peu différentes de l’une de ces quantités c, f c t , c tt ... c,; en désignant par cf un infiniment petit, supposons aussi qu’on ait SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. a 7 5 de cette manière, A ne sera susceptible que des v valeurs données c,, c,, c s ,... c, , dont les probabilités respectives seront y,,y t , y 3 ,...y y à la ri ,me épreuve, et pourront varier d’une épreuve à une autre, c’est- à-dire avec le nombre n. Mais l’une de ces valeurs devant avoir lieu certainement à la n ltm ' épreuve, il faudra que l’on ait y, + >. 4- y 3 -+-• • • -f- y, = i, pour toutes les vàleurs de n, depuis rc = i jusqu’à nz=fz. Cette somme des quantités y,, y t , y 3 , etc., sera d’ailleurs la valeur de l’intégrale J * j n zdz, et cette équation remplace la condition J' i f,zdz = i. Pour un indice quelconque i t on a identiquement fzf n zdz = c,ff n zdz + fz — cùf„zdz, fz'j H zdz — c*ff R zdz - f- 2 c,/z— c,f,zdz - f-/z— c t ' Si l’on prend ces intégrales entre les limites c t =p £, celles qui renferment le facteur z — c, sous le signe f s’évanouiront, puisque entre ces limites, ce facteur est infiniment petit, et les autres auront y t pour valeur. On aura donc f c c Zl z J* zdz ~ y,Ci > f'-Î Z S ' zdz ~ y ' C ' ; d’où l’on conclut f a z f*zdz = y l c I - f- y M c t - f- y& 3 — j—. - . —f- y t c,, / »& a z%zdz= y,c, % -j- y t c a + y 3 c J + ...+ y,c\i au moyen de quoi les quantités désignées par k et h dans le n° ioi, deviendront k = '- 2y l c t + .+ y T c,, h = i 2 +>. exprimera la probabilité infiniment petite que s aura piecisement 3£ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, pour valeur. Je fais aussi 2 £ = 2^ VW*> di = \ / dv ; 279 dP je désigne par BQ 3 dü, et à cause de ^ e~ 5 * cosafQd9 = S/it e~ ^ e~ 8 ’sina'06 3 cf6= ^ Zv — 4v*e- cette valeur de rme ardv = -4=i -ï e-*dvi V* \ J V désignant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de v, et qui n’influera pas, quel qu’il soit d’ailleurs, sur le résultat de nos calculs. Cette expression de s>* • -y, y leurs probabilités respectives, dont la somme sera égale à l'imité, et dont chacune aurait une valeur infiniment petite, si le nombre de ces causes possibles était infini. Les valeurs possibles de A étant toutes celles qui sont comprises entre a et b, et> conséquemment, en nombre infini, la chance de chacune d’elles, provenant de chacune de ces causes, sera infiniment petite. Je représenterai par Zjdz la chance que C, donnerait, si cette cause était certaine, à la valeur zde A. L’intégrale J' zf n zdz, relative à la n Um épreuve, sera donc une chose susceptible des v valeurs J' zZÂz,^ zZ % dz,...j' zZ,dz, dont les probabilités seront celles des causes correspondantes ; en sorte jue y, exprimera, à une épreuve quelconque, la chance de la valeur J zZflz. Par conséquent, la probabilité infiniment petite d’une valeur de la moyenne - zf,zdz , se déterminera par la règle précédente, qui convient à la moyenne ^ des valeurs d’une chose quelconque, dans un très grand nombre [i d’épreuves g sera alors la somme des p valeurs inconnues de J' zf n zdz, qui auront lieu dans cette série d’épreuves, et les quantités qu’on devra prendre pour k et h, se détermineront d’après les v valeurs possibles de cette intégrale, Or, en prenant ces v valeurs J* zZ t dz, J' zZ 3 dz,... J* zZ,dz, pour celles que l’on a désignées par c,, c,, dans le n* io3, et faisant, pour abréger, y — Sy,y^zZ,efe, £ S y, ÇJ'*zZflz — ^ Sy, ^ zZ,dz t où la caractéristique S indique une somme qui s’étend à tous les indices i depuis i = i jusqu’à i = v , ce sont, d’après les formules de ce numéro, les quantités y et 6, indépendantes de ^ ,qu’il faudra prendre pour k et h. Si donc on désigne par v, une quantité positive ou né- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2 8i gative, très petite par rapport à vV ; que V, soit un polynôme qui ue contienne que des puissances impaires de v t ; et que l’on fasse cet infiniment petit '& l dv / sera la probabilité de l’équatiou =>+ En considérant de même la quantité comme une chose susceptible des v valeurs correspondantes aux causes C,,C,,...C, , et dont les probabilités, à chaque épreuve, seront celles de ces causes mêmes; désignant par v u une quantité positiveou négative, telle que le rapport soit une très petite fraction, et par VP \ n un polynôme qui ne contienne que des puissances impaires de v n ; faisant ensuite / sr dv — i _ _Lv \ dv et, pour abréger, a == î S>i / W- l - S y, cette expression de f Sf,fîv ll sera la probabilité que la moyenne des p. valeurs de la quantité dont il s’agit, savoir i * - />*']. ne différera de a que d’une quantité déterminée, de l’ordre de peti- 56 28a RECHERCHES tesse de , et qu’il nous sera inutile de connaître. D’ailleurs cette Vf* * moyenne n’est autre chose que la quantité h du n° ioi ; si donc on néglige les quantités de l’ordre de -, il suffira de mettre a au lieu de h, dans le second terme de la valeur précédente de -, qui est déjà de l’or- J** dre de — de cette manière, on aura Vf* \ - = k + 21>l/ © étant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de 0. Il s’agira actuellement d’éliminer l’inconnue a ê de cette équation 14; ce qui sera possible, comme on va le voir, parce que l’expression de a -f- G se réduit à a j Sy, J' z'Zidz — ^ ^ Sy, J' zZ/dz , et se trouve indépendante de la somme S y, Ç Ç h z 2 ,/lz^ , qui était contenue dans chacune des quantités a. et £. 106. En appliquant à ^ J' z*f n zdz le même raisonnement qu’à cette quantité diminuée, comme dans le numéro précédent, de ~ > et désignant par ^ f z'Zflz de la valeur précé- 2 ’ï J a dente de a, - f- €, sans rien changer à la probabilité »c /0 de cette équation. L’autre partie de la valeur de a - € étant exactement la quantité { y % , on aura donc * + € = ï *; au moyen de quoi l’équation 14 deviendra d’abord Cela posé, soit Z une fonction donnée dez. L’analyse des n* 97 et 101, etpar suite, l’expression de rsdv du numéro précédent, s’étendront sans difficulté à la somme des valeurs de Z qui auront lieu dans les fi épreuves que nous considérons. Il suffira de prendre au lieu de A , une autre chose A, dont les valeurs soient celles de cette fonction Z. La probabilité infiniment petite d’une valeur quelconque de A, sera la même que celle de la valeur correspondante de z, et s'exprimera, en conséquence, par J m zdz à la n in “ épreuve;, et si l’on désigne par k /t h t , g t , etc., ce que deviennent relativement à A / les quantités k, h, g, etc., du n* 101 , qui se rapporteut à A, on aura fAk'—lj' Zj m zdz, v-h = 2 Z%zdz —^ J' ZJ n zdz^ J , etc. Donc, en appelant s,, la somme des valeurs de A / qui auront lieu a 86 RECHERCHES dans la série d’épreuves, l’infiniment petit = y + VÏ Or, on conclut de là que si l’on désigne par u une quantité positive et donnée, l’intégrale de la probabilité de cette équation, prise depuis Q== h jusqu’à 0=— u, exprimera la probabilité que la valeur de - tombera entre les limites y = f ul ' En appelant T cette dernière probabilité, et ayant égard à l’expression de xrf0, on aura r dS ; et comme © est un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de 0, la seconde intégrale sera nulle, et l’on aura simplement résultat qui coincide avec la probabilité P donnée par la formule i 3 . Ainsi, cette formule exprime la probabilité que les limites -^ 4 , Vf qui ne renferment plus rien d’inconnu après les épreuves, comprendront la différence entre la moyenne - des valeurs de Aet la quantité spéciale y, dont cette moyenne approche indéfiniment, et qu’elle atteindrait si devenait infini, sans que les causes C,, C», Cj,... C,, des valeurs possibles de A changeassent jamais. 107. Supposons actuellement que l’on fasse deux séries d’un grand nombre d’épreuves, qui sera représenté par /u, dans l’une de ces séries et par f/ dans l’autre. Soient .v et s' les sommes des valeurs de A 288 RECHERCHES dans ces deux séries ; soient aussi A. et \' M les valeurs de A qui aurout ou qui ont eu lieu à la n iim épreuve; et faisons - 2A. = A, ' 2 A. — A* = fC P -42A'„== V, -42 A'.-— A'J* = les sommes 2 s’étendant à toutes les épreuves de chaque série, c’est- à-dire, les deux premi?res depuis n = î jusqu’à n — /j., et les deux dernières depuis n = i jusqu’à n = f/,'. Si les causes C,, C,, C 3 ,. .. C, , ne changent pas d’une série d’épreuves à l’autre, la quantité y du n° io5 ne changera pas non plus ; en désignant alors par 0 et 0' des variables positives ou négatives, mais très petites par rapport à jx et S/'fJtl, les équations relatives aux valeurs moyennes de A dans ces deux séries , seront s * > bl s ' , vr , - , ; = > + w ? = y + 5> et leurs probabilités respectives rdô et n'dty auront pour expressions >% db, = © et 0' étant des polynômes qui ne contiennent que des puissances impaires de 0 et 0 '. De plus, si les séries se composent d’épreuves diffé- S S* rentes, on pourra considérer ces valeurs de - et —, comme des évé- f* * nements indépendants l’un de l’autre; et par la règle du n° 5 , la probabilité de leur arrivée simultanée sera le produit de W 0 et ndtf. Ce sera aussi la probabilité d’une combinaison quelconque des deux équations i 5 , et, par exemple, de l’équation que l’on obtient en les retranchant l’une de l’autre, savoir / t_ _ £T_ _ tl * * ~~ Vf Ainsi, en désignant par 4 / le produit M'dQdQ', et négligeant le terme SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 389 qui aurait \/ 1 pour diviseur, nous aurons pour la probabilité de l’équation précédente, relativement à chaque couple de valeurs de 0 et 0 '. Pour suivre ici, la même marche que dans le n° io5, je fais 67' . 61 _ 1 t/f> +/ y V1 *" Vf* V h* ’ ce qui change cette équation en celle-ci fl _ i _ ? t* V H* Je remplace 0 dans 4 j par la nouvelle variable t ; et pour cela, je fais û/ _ 1 V + /y 1 6l_Vft rVÏ* + rV? ’ d& V y*? + W7* dt; d’où il résulte / i*// = g _ n e "V *7r T! ^ ft ri/ï n étant un polynôme dont chaque terme renferme une puissance im- s' s paire de t ou de 0. La valeur de - —ne renfermant plus que la variable t , sa probabilité sera l’intégrale de 4 étendue à toutes les valeurs que l’on pourra donner à l’autre variable 0 ; et à cause de l’exponentielle contenue dans 4 » cette intégrale pourra s’étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis 0 = — 00 jusqu’à 0= 00. En faisant alors, + p? = ,, ' ï Vf* 1 Vf* v V f* 3 7 RECHERCHES 290 et désignant par IT ce que n deviendra , nous aurons + = £i' — U' e- 1 ''-' 1 ’ dt'dt; ' les limites de l’intégrale relative à t 'seront encore t' = r rp 00 ; et si l’on représente par Çdt la probabilité infiniment petite de la valeur précé- y s 1 dente de —-, on aura / r £dt = — Te-* dt; T étant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de t . Enfin, si nous représentons par u une quantité positive et donnée, et par A la probabilité que cette différence s — — - tombera entre les li- f u mites = 1 = - 77=r -* Vh*’ nous aurons = -£= f tt e-"dt ,* y/w ./ ce qui coïncide avec la valeur de P donnée par la formule 1 3 . Par conséquent, cette quantité P est la probabilité que la différence entre les valeurs moyennes de A dans deux longues séries d’épreuves, tombera entre ces limites qui ne contiennent rien d’inconnu. Après avoir pris pour u une valeur suffisante pour reudre celle de P très peu différente de l’unité, si l’observation donne pour cette diffé- s' s rence —, — -, une quantité qui tombe en dehors des limites précédentes, on sera fondé à en conclure que les causes C,, C», C 3 ,... C,, des valeurs possibles de A, ne sont pas restées les mêmes dans l’intervalle des deux séries d’épreuves, c’est-à-dire qu’il sera survenu quelque changement, soit dans les probabilités y,, y % , y a ,. . .y, , de ces causes, soit dans les chances quelles donnent aux différentes valeurs de A. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. agi D’après ce qu’on a vu dans le numéro précédent, chacune des quantités l et /' devra différer très probablement fort peu d’une même quantité 2 y/ = 1 et dg' = — dg> on en déduira IV _ * *> + />' * r* “ * f* et les limites les plus étroites de y seront celles-ci sr 4 + s p + zy ^ \/i'u 4. zy ' dont la formule i3 exprimera toujours la probabilité. On peut facilement généraliser ce résultat, et l’étendre à un nombre quelconque de séries d’un grand nombre d’observations, faites avec des instruments différents pour mesurer une même chose A. Les trois quantités f/., s, l , répondant à la première série, si l’on désigne les quantités analogues par /*', s' , l', dans la seconde série ; par /a", s", E' f SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 29 3 dans la troisième; etc.; et si l’on fait, d’abord ? + £ + £ + etc. =D*, et ensuite f* „ ±_ „/ f*' . — a " e t c DT a — î ’ U*/'* — ^ ’ DT» — ^ * 6tC ’ * la formule i 3 exprimera la probabilité que la valeur inconnue de A est comprise entre les limites f* S q“ f*" 4* etc. =p ^, résultantes de la combinaison la plus avantageuse des observations. Et comme on pourra rendre cette formule i 3 très peu différente de l’unité, en prenant pour u un nombre peu considérable, il s’ensuit que la valeur de A différera très probablement fort peu de la somme s s r s ,r des moyennes-,—,, etc., multipliées respectivement parles quan- tités q, q , q ', etc. Le résultat de chaque série d’observations influera d’autant plus sur cette valeur approchée de A et sur l’amplitude de ses limites, que celui des quotients etc., qui se rapporte à cette série, aura une plus grande valeur. Lorsque toutes les séries d’observations auront été faites avec un même instrument, on pourra les considérer comme une seule série , composée d’un nombre d’observations égal à + + etc. Ainsi qu’on l’a dit plus haut, les quantités Z, l', l\ etc., seront à très peu près et très probablement égales ; en étendant les sommes 2 à la série totale, ou depuis n == 1 jusqu’à n — fjt, - f- -f- etc., et faisant f*+* + *'+* te. — À, ft+etc. 2 A.—X* = on pourra prendre Z, pour la valeur commune de /, Z', Z', etc. ; au moyen de quoi les limites précédentes de l’inconnue y, et dont la 394 RECHERCHES formule i 3 exprime la probabilité, deviendront s -t- / -f- s" 4 - etc. __ f* + f* + f*" +• etc- ft-h ’ ce qui coïncide avec le résultat du n° 106, relatif à une seule série d’épreuves. 109. La question indiquée à la fin du n° 104 se résoudra par des considérations semblables à celles dont on vient de faire usage. Soit m le nombre de fois que l’événement E, de nature quelconque, arrivera dans un très grand nombre jx d’épreuves. La chance de E variant d’une épreuve à une autre, soit p m celle qui aura lieu à la n imt épreuve. Faisons l -Ep n = p, '-Xp'^q; désignons par v une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport à \/fi ; et représentons par U la probabilité de l’équation m v , - V2 p - 2 ?- Eu négligeant, pour simplifier les calculs, le second terme de la formule 2 ; ayant égard à ce que représente la quantité k qu’elle renferme ; et y mettant v au lieu de 6, on aura U = 1 e~ v '. Comme dans le n° 104, appelons C,, C a , ... C,, toutes les causes possibles de l’événement E, qui peuvent être en nombre fini ou infini; y, , y % , ... y, , leurs probabilités respectives; c,, c % , ... c, t les chances qu’elles donnent à l’arrivée de E. En considérant p n comme une chose susceptible de ces v valeurs c,, c t ,.. .c ,, dont y, , y, ,... y,, sont les probabilités ; faisant y> c t +• yaP % + .... - f- = r, >.*.*+ yj t '+ — + y,c,'= n SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. a 9 5 et désignant par v t une variable .positive ou négative, très petite par rapport à s/pt>, la probabilité infiniment petite que l’on aura précisément p = r 4- rVv — Vf* sera la quantité *+ 2K0 tfr —r* r — p - f- 8» r — r»] ,-r eu ayant égard à ce que T représente. Mais l’expression de r ne renfermant pas v, sa probabilité en est aussi indépendante ; elle est égale à la somme des valeurs de e correspondantes à toutes celles que l’on peut donnera v, et qui doivent croître par des différences égales à J', dont v est un multiple ; à cause de la petitesse de eT, on obtiendra une valeur approchée de cette somme en mettant dv au lieu de P dans , et remplaçant la somme par une intégrale cette valeur sera exacte aux quantités près de l’ordre de T ou de Quoique la variable v doive Vt* _ être une très petite quantité par rapport à \/ft, on pourra, à raison de l’exponentielle contenue dans e, étendre l’intégrale, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis v = — oo jusqu’à v = oo . Alors, si SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 97 l’on fait v/^+Vr^= e '- les limites de l’intégrale relative à 9 y seront aussi zfc 00 ; et en désignant par Çdô la probabilité infiniment petite de l’expression de r, on aura ÇdO = - e-* C e~»s A. = 4= e-8* S. Donc u étant nne quantité positive et donnée, la probabilité que la valeur inconnue de r tombera entre les limites m u \/im fi — m f* ^ P * coïncidera avec la quantité P donnée par la formule i3, puisque cette probabilité sera Ainsi, P est la probabilité que la quantité spéciale r dont s’approche indéfiniment le rapport —, à mesure que le grand nombrep aug- A* mente encore davantage, ne diffère de ce rapport que d’une quantité comprise en les limites u \/im {fi — ni ^ f*V P * qui ne contiennent rien d’inconnu. Dans une seconde série composée d’un très grand nombre p! d’épreuves, soit m 'le nombre de fois que l’événement E arrivera. En désignant par 6* une variable positive ou négative, mais très petite par rapport a\/x,', la probabilité infininjent petite de l’équation t' y/ im' {fi — m' fc ÿ t* ; 38 29 8 RECHERCHES sera —^ e -5 '* d§' ; celle de l’équation m' m __ —m' Sj/ 2m / t — m m t /*— m d t PŸ ftm'ifi — m 7 ’ et ensuite > yft 3 m'fi— m' + — m ^ tpi \/p mft — m ft ft y pm'ft—m fiy ptm {ft — m' y y™! {p — m' +pc 3 m ft — m ^ __ ^ *y t*m\ y— ™ r c’est-à-dire, si l’on remplace d’abord la variable 0' par t sans changer 0, et ensuite 0 par i'sans changer t, cette probabilité de l’équation précédente deviendra l dtdt!. V Cette équation devenant, en même temps, m' m _ t yiftïni ft — ni 2ft' , m ft — m f* P ftfi y ftft et ne contenant plus que la variable t, sa probabilité totale sera l’intégrale relative à t' de cette expression différentielle; intégrale que l’on pourra étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis £ = — oc jusqu’à t' = oo , ce qui donnera e~ 1 ' dt ; d’où l’on SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2 99 I u conclura enfin que J e~ t% dt, ou la quantité P donnée par la formule 1 3 , exprimera fa probabilité que la différence ™ — — est f* f 4, comprise entre les limites u y/2fi 3 rri {fi — m' - f- ifî m {fi — m dans lesquelles u sera une quantité positive et donnée, et qui ne contiennent que des nombres connus. Ces limites coïncident avec celles que nous avons trouvées dans le n* 87 , d’une manière beaucoup plus simple, mais pour le cas seulement où la chance de l’événement E est constante et la même dans les deux séries d’épreuves. Toutefois la formule 24 de ce numéro contient un terme de l’ordre de ~ ou , qui ne se trouve pas V'f* dans la formule i 3 ; ce qui tient à ce que, dans le calcul que nous venons de faire, nous avons négligé les termes des probabilités que nous avons considérées, qui seraient de cet ordre de petitesse. 110. Je ne me propose pas de traiter, dans cet ouvrage, les nombreuses questions auxquelles on peut appliquer les formules précédentes, et dont les principales ont été indiquées dans le n° 60 et les suivants *;. Je me bornerai à prendre pour exemple de ces applications. une question connue qui se rapporte aux orbites des planèles et des comètes. Dans les quantités qui ont été désignées précédemment par T et T n’gg, si nous faisons h = g, y = dg—c, C —i = 2gct, C = {* Je puis encore indiquer la probabilité' du tir à la cible, que j’ai conside're'e dans un mémoire écrit avant cet ouvrage, et qui paraîtra dans le prochain numéro du Mémorial de l'artillerie. 38 .. 3oo nous aurons RECHERCHES ^_r =±f — '* q=f - — *Y ' =fc=F =*= etc - » —r ; =±o—0' i =F/ A /* — i—e'* db a*- a- cr = F ^-^ -1 ft _5_ê^db etc., 1*2 où l’on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur de chaque terme, selon que la quantité qui s’y trouve élevée a la puissance /4 sera positive ou négative. Cela étant, en représentant dans ces deux formules, par S et T les sommes des termes qui devront être pris avec leurs signes supérieurs, et par S 7 et T, les sommes de ceux qu on devra prendre avec leurs signes inférieurs, on aura donc r =.'“ s —s,, r,= w 'T-T, ; mais quelle que soit la quantité T, on a, d’après une formule connue et facile à vérifier, , - JT + At-a- JT — ^—5 — ^ 4* etc. rsa'- 1 j si donc on fait successivement tf = a et sibles depuis zéro jusqu’à go*, il faudrait donc prendre pour a et €, dans la formule 16, des nombres peu différents de 75 en plus et en moins, ce qui rendrait le calcul numérique de cette formule tout-a-fait inexécutable; par conséquent, pour connaître, dans cette même hypothèse, la probabilité P que la somme des inclinaisons des orbites de toutes les comètes observées, doit être comprise entre des limites données, il faudra recourir à la formule i 5 . Je suppose donc que la chose A soit l’inclinaison d’une orbite comé- taire sur le plan de l’écliptique. Les limites des valeurs possibles de A, que l’on a désignées généralement par a et b, étant alors a = o et b — 90°, et toutes ces valeurs étant regardées comme également pro- 54 RECHERCHES bables, la formule 13 exprimera la probabilité P que la moyenne d’un grand nombre d’inclinaisons observées, tombera n° 10a entre les nombres de degrés 45 q= 9OU Eu prenant u= 1,92, et faisant /* = i38, il en résultera P = 0,99338, pour la probabilité que dans l’hypothèse d’une égale chance de toutes les inclinaisons possibles, l’inclinaison moyenne des 138 comètes observées ne sortirait pas des limites 45“q=6*; en sorte qu’il y aurait à peu près i5o à parier contre un, que cette moyenne devrait être comprise entre 5g° et 5i°; et, en effet, on a trouvé 48°55' pour sa valeur; en sorte qu’il n’y a pas lieu de croire que la cause inconnue de la formation des comètes ait rendu inégalement probables leurs diverses inclinaisons. Sans faire aucune hypothèse sur la loi de probabilité de ces inclinaisons, la formule i3 exprimera aussi la probabilité que l’inclinaison moyenne d’un grand nombre fx de comètes que l’on observera par la suite, ne s’écartera de la moyenne 48 0 55 , relative aux i38 comètes déjà conuues, que d’un nombre de degrés compris entre les limites n° 107 ul \/ iZQ /a V t 38 f* On déduit*des inclinaisons calculées de ces 138 comètes, une valeur de la quantité l que ces limites renferment, égale à 34 0 49 , *; et en faisant p'=fi, par exemple, et prenant, comme plus haut, = 1,92, il y aura i5o à parier contre un que la différence entre l’inclinaison moyenne de i58 nouvelles comètes et celles des i38 comètes observées, tombera entre les limites rp 8 2i'. Le nombre des comètes * Le calcul en a été fait par le neveu de M. Bouvard. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 o 5 existantes étant sans doute extrêmement grand par rapport à celui des comètes dont on a pu calculer les orbites; si l’on prend pour p' le nombre des comètes inconnues, les limites précédentes se réduiront à très peu près à de sorte qu’elles seront plus étroites que pour — dans le rapport de l’unité ày/ajet, en prenant toujours ,5o 1,92, il y aura encore a très peu près la probabilité y^, ou i 5 o à parier contre un, que la différence entre l’inclinaison moyenne des comètes inconnues et celle des comètes connues, est comprise entre les limites rp 5 ° fa'. Si l’on divise la totalité des comètes observées en deux séries égales en nombre, dont l’une comprenne les 6g plus anciennes, et l’autre les 6g plus modernes, on trouve 49° 12' pour l’inclinaison moyenne dans la première série, et 48° 38 ' dans la seconds, de sorte que ces deux moyennes diffèrent à peine d’un demi degré. Cet exemple est très propre à montrer que les valeurs moyennes d’une même chose s’accordent entre elles, lors même que les nombres d’observations ne sont pas extrêmement grands, et quoique les valeurs observées soient très inégales, comme ici où la plus petite inclinaison comé- taire est i° 4 ri et la plus grande 89° 48 '. Les inclinaisons moyennes des 71 comètes directes et celle de 67 comètes rétrogrades s’écartent davantage l’une de l’autre ; la première est de 47 ° 3 ', et la seconde de 5 o° 54 ’. Par le centre du Soleil, si l’on élève dans l’hémisphère boréal, une perpendiculaire au plan de l’écliptique, elle ira rencontrer le ciel au pôle boréal de l’écliptique ; de même, si l’on élève, dans cet hémisphère et par ce centre, une perpendiculaire au plau de l’orbite d’une comète, elle rencontrera le ciel au pôle boréal de cette orbite la distance angulaire de ces deux pôles sera l’inclinaison de cette orbite sur celui de l’écliptique; mais il 11e faut pas confondre, comme l’a fait l’estimable traducteur du Traité d'astronomie de M. Herschel , la supposition que tous les points du ciel puissent être, avec une même probabilité, des pôles d’orbites cométaires, avec l’hypothèse d’une égale probabilité des inclinaisons cométaires de tous les degrés. 39 jo6 RECHERCHES En effet, soient a et b deux zones du ciel, circulaires, contenues dans l’hémisphère boréal, d’une même largeur infiniment petite, ayant pour centre commun le pôle boréal de l’écliptique, et dont les distances angulaires à ce pôle seront représentées par a. et G ; soient aussi p la probabilité qu’un point du ciel, pris au hasard dans cet hémisphère, appartiendra à la zone a, et q la probabilité qu’il appartiendra à la zone b; il est évideut que ces fractions p et q seront entre elles comme les étendues a et b des deux zones, et, par conséquent, comme les sinus des angles a et G. Or, dans l’hypothèse d’une égale aptitude de tous les points du ciel à être des pôles d’orbites cométaires, p et q exprimeront les chances des distances a et G de deux de ces pôles à l’écliptique, ou, autrement dit, les chances des deux inclinaisons cométaires, égales à ces distances a et G; donc, dans l’hypothèse dont il s’agit, les chances des différentes inclinaisons, au lieu d’être égales , seraient proportionnelles aux sinus des inclinaisons mêmes la chance d’une inclinaison de 90° serait double de celle d’une inclinai- sou de 3 o*, et toutes deux seraient infinies par rapport à la chance d’une inclinaison infiniment petite *. 11a. Voici, en terminant ce chapitre, l’ensemble des formules de * Il paraît qu’un nombre, qui semble inépuisable, d’autres corps trop petits pour être observés, se meuvent dans le ciel, soit autour du Soleil, soit autour des planètes, soit peut-être même autour des satellites. On suppose que quand ces corps sont rencontrés par notre atmosphère , la différence entre leur vitesse et celle de notre planète est assez grande pour que le frottement qu’ils éprouvent contre l’air, les échauffe au point de les rendre incandescents, et quelquefois, de les faire éclater. La direction de leur mouvement, modifiée par cette résistance, les précipite souvent sur la surface de la terre; et telle est l’origine la plus probable des aéroliihes. Telle est aussi l’explication la plus naturelle d’un phénomène très remarquable, que l’on a déjà observé plusieurs fois, depuis quelque temps, en des lieux séparés par de grandes distances, et toujours à la même époque de l’année. Dans la nuit du ia au i3 novembre, différents observateurs, en Amérique et ailleurs, ont vu dans le ciel un nombre extrêmement grand de corps semblables à des étoiles filantes. Or, on peut supposer que ces corps appartiennent à un groupe encore bien plus nombreux, qui circule autour du Soleil, et vient rencontrer le plan de l’écliptique en un lieu dont la dis- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3o 7 probabilité qui y sont démontrées, ainsi que dans le précédent. Le nombre des épreuves, supposé très grand, est représenté par p; il se compose de deux parties m et n que l’on suppose aussi de très grands nombres; les formules sont d’autant plus approchées que ce nombre p. est plus considérable; et elles seraient tout-à-fait exactes, si pétait infini. i ". Soient p et q les chances constantes pendant toute la durée des épreuves, des deux événements contraires E et F, de sorte qu’on ait p-\-q=i. Appelons U la probabilité que dans le nombre p ou m -h n d’épreuves, E arrivera m fois et F aura lieu n fois. On aura n° 69 0?V i*mn Cette formule se réduit n° 79 à V Ixfipq tance au Soleil est e'gale à celle de la terre à cet astre, à l’époque où la terre se trouve en ce même lieu notre atmosphère traversant ce groupe de corps à cette époque, agira sur une partie d’entre eux comme sur les aérolithes ; ce qui produira le phénomène dont il s’agit. Si ce groupe n’occupe pas une étendue très considérable sur la longueur de son orbite, c’est-à-dire, si son diamètre apparent, vu du Soleil, n’est j>as beaucoup plus grand que celui de la terre, il sera nécessaire, pour que le phénomène ait toujours lieu à la même époque de chaque année, que la vitesse de cette sorte de planète brisée s’écarte peu de celle de la terre; ce qui n’empêche pas le grand axe et l’excentricité de son orbite, de différer beaucoup du grand axe et de l’excentricité de notre orbite ; et alors les perturbations du mouvement elliptique ont pu rendre la rencontre du groupe et de la Terre, possible depuis quelque temps, et pourront la rendre impossible par la suite. Si, au contraire, le groupe que nous supposons forme un anneau continu autour du Soleil, sa vitesse de circulation pourra être très différente de celle de la Terre ; et ses déplacements dans le ciel, par suite des actions planétaires , pourront encore rendre possible ou impossible, à différentes époques, le phénomène dont nous parlons 3 o 8 lorsqu’on prend RECHERCHES m = — v \Zwpq, n =z nq + v\/ v étant une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport à \/p; et sous cette forme, elle subsiste également quand les chances de E et F varient d’une épreuve à une autre, en prenant alors, d’après la formule 2 du n° g 5 , pour p et q les moyennes de leurs valeurs dans la série entière desp épreuves successives. 2 0 . Les événements E et F ayant eu lieu effectivement m et n fois dans les p. épreuves, et leurs chances p et q étant inconnues, soit U' la probabilité qu’il arriveront dans [i ou m' -{-n' épreuves futures, des nombre de fois m' et n', proportionnels à m et n , ou tels que l’on ait , fcm , un m = -—, » = — . Quelque soit le nombre p', on aura n° 71 u ' = v/ife C* en repi’ésentant par U' la probabilité de l’événement futur qui aurait lieu si les rapports — et - étaient certainement les chances de F et F, c’est-à-dire en faisant, pour abréger, 1 .. . . ry'?y' = 0,.. i . .m'. 1 . .n \pj \p/ 3 °. Les chances constantes p et q de E et F étant données, soit P la probabilité que dans /a ou m-\-n épreuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. On aura n° 77 P P I z’» e ~" dt - 1 /»» 1 ~ r + "Wl ^ 3 Ÿ wftmn e~ l ’dt *+*_t / 2 c _„. 3 y xfimn SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. k étant une quantité positive dont le carré est ooq , i n . , .ni m -+ i k = nlog —— T— + »» + log —, —-77—; ; ^ q ft+l v ” P /•* + O et en employant la première ou la seconde formule selon que 1 on q ^ n q n aura - >-— ou - ? = d’où l’on déduit u = py •+ ? i — y, pour une expression de la probabilité que le juré ne se trompera pas, qu’il est facile de vérifier. En effet, cela aura lieu de deux manières différentes parce que l’accusé sera condamné, et qu’étant condamné, il sera coupable, ou bien parce qu’il sera acquitté, et qu’étant acquitté, il sera innocent. Or , par la règle du n° 9 relative à la probabilité d’un événement composé de deux événements simples, dont les chances respectives influent l’une sur l’autre, la probabilité de la première manière 'est le produit de y et de p , et celle de la seconde, le produit de 1 — 7 et de q. Donc aussi n° 10, la valeur complète de u est la somme de ces deux produits. Après que la décision du juré est prononcée, la probabilité qu’il ne s’est pas trompé, n’est autre que p, s’il a condamné, ou q s’il a acquitté. Si l’on n’a pas k = j f elle ne peut être égale à u, comme auparavant, que quand on a u = o ou u=i. Ces formules renferment la solution complète du problème dans le cas d’un seul juré; problème qui n’est, au reste, que celui de la probabilité d’un fait attesté par un témoin, dont nous nous sommes oc- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5ai cupés dans le n° 56. La culpabilité de l’accusé est ici le fait qui peut être vrai ou faux; avant que le juré ait prononcé, on avait une certaine raison de croire que ce fait était vrai, résultante des données qu’on possédait alors A était sa probabilité, et i — k celle de la non-culpabilité; après la décision du juré, on a eu sur le fait une nouvelle donnée; ce qui a changé k en une autre probabilité p, si le juré a décidé ou attesté que l’accusé soit coupable, et i — k en une probabilité q, s’il a attesté que l’accusé ne soit pas coupable. Dans l’un et l’autre cas, il est évident que les probabilités antérieures k et i — k ont dû être augmentées, s’il j a plus de chance pour que le juré ne se trompe pas, qu’il n’y en a pour qu’il se trompe, et diminuées, dans le cas contraire, c’est-à-dire augmentées ou diminuées selon qu’on a u > - j ou u ou 1 — A, selon qu’on aa>ou= A>-f-i — k 1 — >; et puisque le premier membre de celte équation est égal à m, on a donc aussi u = ky-\- 1 — k 1 — >; ce qui servirait à calculer la probabilité que le juré ne se trompera pas, si l’on connaissait à priori, par un moyen quelconque, la chance y de la condamnation, outre la probabilité A de la culpabilité. C’est aussi ce que l’on vérifie en observant que le juré 11e se trompera pas, si l’accusé est coupable et condamné, ou bien s’il est innocent et acquitté or, les probabilités de ces deux cas, avant la décision du juré, 4 1 5 2 2 RECHERCHES sont les produits ky et i — k i — y, dont la somme forme la valeur complète de u. Quand on auraÆ=-j, les premières valeurs de pelq se réduiront immédiatement à p=u et q= w, et, en effet, puisqu’on n’a à priori aucune raison de croire plutôt à la culpabilité qu’à l’innocence de l’accusé f notre raison de croire à l’une ou à l’autre, après la décision du juré, ne peut différer de la probabilité qu’il ne se trompe pas. Si l’on a A = i, c’est-à-dire si la probabilité de la culpabilité est regardée comme certaine à priori, on aura p = i et q = o; et quelle que soit la décision du juré, et sa chance u de ne pas se tromper, cette culpabilité sera encore certaine après cette décision. Il en sera de même à l’égard de l’innocence de l’accusé, si l’on a k = o, c’est-à-dire si elle est certaine à priori. Mais dans les deux cas, il n’est pas certain que l’accusé sera condamné ou acquitté on aura y = u , dans le premier, et y = i — u dans le second, pour la chance de sa condamnation, qui sera donc égale, comme cela doit être, à la probabilité que le juré ne se trompera pas quand k= i, et se trompera lorsque k = o. i i5. Supposons actuellement qu’après la décision de ce juré, l’accusé soit soumis au jugement d’un second juré dont la probabilité de ne pas se tromper sera représentée par u!. Il s’agira de déterminer les probabilités que l’accusé sera condamné par les deux jurés, absous par l’un et condamné par l’autre, absous par l’un et l’autre; probabilités que je désignerai respectivement par c, b , a. Soit y' la probabilité que l’accusé ayant été condamné par le premier juré, le sera aussi par le second. En observant que y est la chance de la première condamnation , on aura c = yy, pour la probabilité de deux condamnations successives. Mais en paraissant devant le second juré, il y a la probabilité p , résultant de la décision du premier, que l’accusé est coupable; la valeur de y' se déduira donc de la formule i, en y mettant p et u' au lieu de k et w; ce qui donne y' = pu' - f- i — p i — u'; 5a5 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, d’où l’on déduira, en verlu des formules i et a, c = kuu - j- i — Æ i — i — u '- Par un raisonnement semblable, on trouvera a = ki — u i — ü ' -4^i — kuu\ •• En ajoutant ces deux formules, il eu résulte a + c — uu! + 1 — u j — u, pour la probabilité que les deux jurés décideront de la même manière, soit qu’ils condamnent, soit qu’ils absolvent; et l’on peut remarquer que cette probabilité totale est indépendante de celle de la culpabilité de l’accusé avant le double jugement. Si l’accusé a été absous par le premier juré, et qu’on appelle y, la probabilité qu’il sera condamné par le second, le produit i — yy, exprimera la probabilité que ces deux jugements contraires auront lieu successivement et dans cet ordre. D’ailleurs i — q sera la probabilité que l’accusé est coupable, quand il paraît devant le second juré apres avoir été acquitté par le premier; la valeur de y t se déduira donc de la formule i, en y remplaçant k et u par i — q et r/; ce qui donne y , = C 1 — ?“' + 91 — '» ou bien, en vertu des valeurs de 1 — y et q données par les formules 1 et 3 , , __ yy t —ki 1 —k 1 — Il est évident qu’en permutant les lettres u et u' dans cette expression, on aura la probabilité que les jugements des deux jures seront contraires, mais dans l’ordre inverse de celui qu’on vient de supposer. En 4i. 3 a 4 RECHERCHES ajoutant cette probabilité à la précédente, il en résultera b = i — uu + 1 — uu , pour la probabilité complète de deux jugements contraires, rendus dans un ordre quelconque. On voit qu’elle est indépendante de k, comme celle de deux jugements semblables. Dans le cas de u == ^ et u! = i, l’une et l’aulre%ont aussi J. Dans tous les cas, leur somme a + b + c est l’unité, comme cela devait être. La probabilité que l’accusé est coupable après qu’il aura été condamné par les deux jurés, sera donnée par la formule 2, eu y mettant/j et u! au lieu de k et u; et la probabilité de son innocence, quand il aura été absous par les deux jurés, se déduira de la formule 3 , par le changement de k et u en 1 — q et u'. En désignant par/?' et q' ces deux probabilités, on aura donc ,__ pu_ _ ,_ _ qy! P pu + I — p 1 — u' % qu' + 1 — q I — u ’ et d’après les valeurs de p et q, données par ces mêmes formules 2 et 5 , ces valeurs de p' et q ' deviendront , kuu , 1— kuu' P — k 1 — u 1— u '’ ^ 1— kuu'-yk{ 1—ui— u '* Soient encore p t la probabilité que l’accusé est coupable, après qu’il aura été absous par le premier juré et condamné par le second, et q, la probabilité qu’il est innocent, quand il aura été condamné par le premier juré et acquitté par le second. La valeur de p t se déduira de la formule 2, en y mettant u' au lieu de , et y remplaçant k par la probabilité 1 — q que l’accusé n’est pas innocent, après qu’il a été acquitté parle premier juré; celle de q t s’obtiendra de même en changeant et k dans la formule 3 , en u et p; on aura donc p _ _ _ U—pW 1— qu - j- qi— u'* *1 1— pu'-\-pi —11'’ 3 a 5 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, ou bien, en vertu de ces mêmes formules 2 et 3 , _ jt-1— uu' n 1—Æi — u u ' P* * — uu - f-i *i— uu' 1 ' = 1— k 1 — uu'-t- / 1— u’u' La probabilité que l’accusé, condamné par le premier juré et acquitté par le second est coupable, sera 1 —i, et qu’on fasse n — 2i = m, l’accusé aura été condamné à la majorité de m voix. Lorsque i jurés l’auront condamné et que les n — i autres l’auront absous , il aura été acquitté à cette majorité de m voix ; la probabilité de cet acquittement, que je désignerai par Tj , se déduira de la valeur de y t en y permutant les nombres n — i et i, ce qui ne changera rien au coefficient N ; . On aura doue cfi = N* [ku i — u'~ + i — ku'~ i — ']. 5 En ajoutant ces deux dernières équations, il vient y, 4- J'i = Ni \u n ~ i i — ii - j- u l i — il" -1 ] ; SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5 2 g quantité indépendante de k; de sorte que la probabilité d’un jugement rendu à une majorité donnée m, soit qu’il condamne, soit qu’il absolve, ne dépend pas de la culpabilité présumée de l’accusé avant cette décision. Dans le cas particulier de les probabilités y t et sont séparément indépendantes de A, et ont pour valeur commune Elles sont aussi égales éBtre elles, quelle que soit la valeur de u, lorsque l’on a k = 7. 118. Soit c, la probabilité que l’accusé sera condamné par n—i voix au moins et absous par i voix au plus, c’est-à-dire la probabilité d’une condamnation à la majorité de m voix au moins. Soit aussi c?, la probabilité que l’accusé sera acquitté par n — i voix au moins et condamné par i voix au plus. D’après la règle du n° 1 o, on aura 'i c i = y» + y, + % + • •+ y» d-i = T» -H T,+ cT a +...-f- cf.; et au moyen des formules précédentes, il en résultera = k\Ji -h 1 - kU„ } d ; = Wi + 1 - À'U„ j 6 en faisant, pour abréger, N 0 m"+ N,k— i —u + N,— +... + m'=U I N..i—'+N 1 i—m—+N.i—»—•+.. — —*= V b de manière que U, soit une fonction donnée de u, et Y,, ce ue devient cette fonction, quand on y met 1 — u an lieu de u. On aura, en même temps, ^ + di = U, + V„ 42 33 o RECHERCHES pour la probabilité, indépeudaate de k, que l’accusé sera, ou condamné, ou acquitté, à la majorité d’au moins m voix. Si l’on met n — i— i au lieu de i dans l’expression de d ,, on en conclura U, + V, c i + d n et, en effet, si un nombre de voix au moins égal an — i est nécessaire pour la condamnation, l’accusé sera acquitté lorsqu’il y aura n — i — i voix au plus qui lui seront contraires; en sorte que l’un des deux événements dont les probabilités sont c. et * devra certainement arriver. Si n est un nombre impair, et qu’on ait n = ai + i et conséquemment m = i, on aura Uf + V, = \u + i — ]" =i, Ci~hdj = i; en sorte que l’accusé sera certainement condamné ou acquitté à la majorité d’une voix au moins; ce qui est évident en soi-même. Si n est un nombre pair, la plus petite majorité possible sera m = 2, et répondra à n = ai -f- 2. On aura alors U, + V, = [ + 1 — ]• — N i+I i+ ' 1 — u i+ '; d’où il résultera A + 1 . 21. . ,i - f- 2 [i-or*- c,- -f- di = 1 1 . 1 .3... i + 1 11 ne sera donc pas certain que l’accusé sera condamné ou absous à la majorité d’au moins deux voix ; ce qui est évident, et tient au cas possible du partage égal des voix pour l’acquittement et pour la condamnation. La probabilité de ce cas unique s’obtiendra en retranchant de l’unité, la valeur précédente de c, -f- dr, elle sera indépendante de k-, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 331 et en la désignant par H ; , son expression pourra s’écrire sons cette forme u _ i . .21 + ’ [“ i — + i* Le maximum du produit u i — u répond à u = î, et est égal à Cette probabilité H ; diminuera donc à mesure que s’écartera davantage de £. Elle diminuera aussi continuellement à mesure que i augmentera ; car on déduit de son expression lr _ 2» -f- + 4 • “ 1 - U II —-7+Tp et d’après le maximum, £ de u i — u, on en conclut que le rapport de H l+ , à H; sera toujours moindre que l’unité la plus grande valeur de H, répondra à u = { et i = o, et sera égale à i. Quand i-f- i sera un grand nombre, on aura n° 67 . .i+i=i+i pour la valeur approchée de H,, qui sera, comme on voit, une très petite fraction, lorsque u différera notablement de y, ou 4 1 —-m de l’unité. Dans le cas de = i, et en prenant pour exemple f-f-i = 6 ou n = 12, cette formule, réduite à ses deux premiers termes , donne - 3 -_» 94- pour cette valeur; ce qui diffère très peu de la valeur 1024 23l exacte 1024* I uo * o ou k > , on aura aussi c, 1 — uy _ i — ku*- t — u 1 + ki — u n -u r Si l’on suppose k—j, on aura p i =q i ; et, en effet, lorsqu’à priori, on n’a pas de raison de croire plutôt à la culpabilité qu’à 1 innocence de l’accusé, il est évident que la bonté des jugements rendus à la même majorité, a aussi une égale probabilité dans les deux cas de la condamnation et de l’acquittement. Pour u— j, on a — uf — i — uf~ l ià , et, par conséquent, comme cela doit être, p t = k et q t = i — k, quels que soient les nombres n et i. En faisant, dans les formules 7 et 8, u 1 + t> u 1 et observant que n = m -f- ai, on aura _ k,m Pi A *" 1 - J- 1 — k ’ _ 1 — kt m 1 _ k t m + k ’ ce qui montre que la probabilité de la bonté d’un jugement, ue dépend, toutes choses d’ailleurs égales, que de la majorité m à laquelle il est rendu, et nullement du nombre total n des jurés; et, effectivement, les votes contraires et en nombres égaux, dans le cas d’une même chance d’erreur pour tous les jurés, ne sauraient augmenter ni diminuer la raison de croire que le jugement soit bon ou mauvais. Mais ce résultat suppose essentiellement la chance u que les jurés ne se tromperont pas, donnée avant le jugement; et il n’en serait plus de même, comme on le verra plus loin, si cette chance devait être conclue, après le jugement, des nombres de voix qui ont eu lieu pour et contre. Pour une valeur donnée de m, un jugement rendu à la majorité d’une seule voix, par exemple, ne mérite donc ni plus ni moins de confiance, quel que soit le nombre impair des jurés, que s’il y avait un seul juré; mais la probabilité qu’un tel jugement, de condamna- RECHERCHES 334 tion ou d’acquittement, sera rendu, diminue à mesure que le nombre total des jures devient plus grand. En effet , cette probabilité sera la somme des formules 4 et 5, dans laquelle on fera n = 21+1 ; en la désignant par , et q lt indépendantes du nombre total n des jurés, et dépendantes seulement de m ou n — 2/. Pour les ’ comparer numériquement les unes aux autres, je prends k = 4; ce qui rend égales les quantités P, et Q , ainsi que p, et q lf et suppose qu’avant le jugement, l’innocence de l’accusé avait la même probabilité que la culpabilité. Je fais aussi = ; en sorte qu’il y ait trois à parier contre un que chaque juré ne se trompera pas. En prenant pour n le nombre ordinaire des jurés, et faisant n = 12 et i=. 5, on trouve d’abord 9 1 Pi = —, 1 — Pt = — ; r 10 r IO 7 on trouve, en outre, 37 U,=7254.^7, V, = 239122.^; et l’on en déduit, à très-peu près, P, ce qui montre que dans cet exemple, la probabilité 1 —P ; de l’erreur d’une condamnation prononcée à la majorité de deux voix au moins, est à peine un septième de la probabilité 1 — p t de l’erreur à craindre dans un jugement rendu à cette majorité de deux voix précisément, ou par sept voix contre cinq. Les formules 4, 5 , 6, 7, 8, 9, 10, s’appliqueront sans difficulté au cas où l’accusé traduit devant le jury que nous considérons, aura déjà été condamné ou acquitté par un autre jury y on prendra alors pour la quantité k que ces formules renferment, la probabilité que l’accusé est coupable, résultant du premier jugement, et que l’une de ces formules aura servi à déterminer. 121. Lorsque n—i et i seront de très grands nombres, on sera obligé de recourir aux méthodes d’approximation, pour calculer les valeurs de U et V,. 536 RECHERCHES Pour cela , j’observe qu’en faisant 1 —u = v, la quantité U; est la somme des t + i premiers termes du développement de n-v", ordonné suivant les puissances croissantes de i>; elle devra donc coïncider avec la formule 8 du n° en mettant dans celle-ci, u, v, i, n, au lieu d ep, q, n, par conséquent, d’après les formules i 5 du n° 77, nous aurons U ; = U,= n-fï l/a r _ fl . 3 \/ xni n — i * 3 [/ uni n — — e i - 6 ». 9 00 6 étant une quantité positive dont le carré a pour valeur G* = i log • i Kn-f i + n + i — i log n -f i — i et en employant la première ou la seconde de ces deux expressions de U ; , selon que ^surpassera le rapport - ou sera moindre. Si l’accusé a été condamné, et que toutes les majorités puissent avoir eu lieu, depuis la plus petite, de une ou deux voix, jusqu’à l’unanimité, le nombre n + i et le rapport ^ * j — . , seront à très peu près double de i et l’unité ; on devra donc employer la première ou la seconde formule i i, selon que l’on aura v > u ou v v, et l’unité dans le cas de u u. Dans le cas de u = v = j, et en faisant n = ai -J- i ou n — 21 + 2 , selon que n sera impair ou pair, le rapport ^ * —. sera un peu V 4 moindre que -, ou que l’unité; il faudra donc employer la première formule 11 ; et comme la valeur de 0 sera une très petite fraction, on aura, à très peu près, U • 2. 11 en résultera u 1 2 en sorte que la chance moyenne ne pourra par excéder ni être moindre que 7, qui répondent à a = 2 et a = o. Supposons encore que X varie en progression géométrique, pour des accroissements égaux de x; et prenons X = SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 543 valeur qui satisfait à la condition J' %dx — i , quelle que soit la constante a, et dans laquelle e est, à l’ordinaire, la base des logarithmes népériens. Nous aurons i i d’où l’on conclut qu’en faisant croître a depuis a = — oo jusqu’à a = 2 à cause de J' Xdx = i, on aura donc 1 fl_ fodx = i — ïg; ce qui exigera que g ne surpasse pas a, puisque fx ne peut avoir RECHERCHES 3 44 que des valeurs positives. Dans l’intégrale J, xfxdx, on pourra, 2 ' en-dehors de Jx, regarder x comme une constante égale à j; on aura donc aussi fl_ t xfxdx = 7 — i g; â et en observant qu’on a - — • 1 / o xfxdx = f o xfxdx - f- H xfxdx - f- f t xfxdx , ° J 3~ * J l on en conclura ou bien, en réduisant, B = ï + i?' Par conséquent, dans ce cas, la chance moyenne ne pourra pas excéder u — , qui répond à g = a, ni être moindre que u = - j, qui répond ag= o. On pourrait faire ainsi une infinité d’hypothèses différentes sur la forme de la fonction X. Si l’une d’elles était certaine, la valeur correspondante de la chance moyenne u le serait aussi ; si, au contraire, elles sont toutes possibles, leurs probabilités respectives seront infiniment petites, et il en sera de même à l’égard des diverses valeurs de la chance moyenne qui résulteront de ces hypothèses. Le dernier cas aura fieu, lorsque les valeurs différentes dont est susceptible la chance qu’uu juré ne se trompera pas, nous seront inconnues, et que nous ne connaîtrons même pas la loi de leurs probabilités, de sorte que nous puissions faire sur cette loi toutes les suppositions possibles, qui donneront à la chance moyenne des valeurs inégalement probables. Alors en représentant par , et de p t , nous aurons k J u a ~\ — ufudu —FT— - — - Tx -. .3 k Jo u *~i — uçudu - J-1 — k J ui — ii *- 1 çudu Cette probabilité sera zéro ou l’unité en même temps que k. Eu mettant son expression sous la forme = k - f- A-i — k f 1 — liyçudu — J* ni — w n-, ^iirfi^j k J' u* _i i — uYfudu -f- i— k J' u' 1— u tt ~ipudit on voit que pour toute autre valeur de k, la probabilité que l’accusé est coupable, après le jugement, sera plus grande ou plus petite qu’auparavant, selon que la première des deux intégrales J ' m’ - ' 1 — u il faut supposer une personne qui ait, avant le jugement du jury, une certaine raison de croire l’accusé coupable, exprimée par la probabilité k; qui ne connaisse aucun des n jurés, ni l’affaire qu’ils ont eu à juger; et qui sache seulement qu’on les a pris au hasard sur la liste générale. Pour cette personne, la probabilité qu’un juré ne s’est pas trompé dans son vote, est égale pour tous les jurés n° 122, mais inconnue; avant le jugement elle peut supposer à cette inconnue u, toutes les valeurs possibles depuis u = o jusqu’à u = i par des considérations quelconques que nous n’examinons point ici, la probabilité infiniment petite que la personne attribue à la variable u est exprimée par qùdu ; et a, on prendra le signe supérieur devant le second radical et le signe inférieur devant le premier, afin que la valeur de X soit négative et que celle de A' soit positive. Pour exprimer u en série ordonnée suivant les puissances de x , •soient y, y', y", etc., des coefficients constants, et faisons u = u-t-yx -î- y'x % - f- y"x 5 - f- etc. ; en ayant égard aux valeurs de et, 6, x, il en résultera = 2 in—i > x + y' x% + y" x 5 *+* etc * + y x + y' x% + ÿ' x ' + etc. 5 4- etc.; en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres de cette équation, on en déduira les valeurs de y , y', y", etc., au moyen desquelles, on aura / 2/ft — i u — a-t-x \J et, en même temps, n — 2 l 3 n* “j - etc., 4 xn — il , . + e,c - Si la fonction — j etc. En nous arrêtant à son premier terme, et y^n’ nÿn’ n' y'n observant que l’intégrale J e~ x 'dx est égale à \Ar, nous aurons, i'{n — ixin — i /n — i V n J' u*~ i — utpudu — d’où l’on conclut aussi P 1 .. » i n — i* — ' y'lxin — i /i\ par la permutation des nombres i et n — i. Si l’on désigne par f une quantité positive et très petite par rapport a\/n; que l’on fasse n V n et qu’on développe en séries les logarithmes contenus dans les expressions de A et A', on trouvera A= — le second cas sera exclu , et l’on pourra regarder comme à peu près certain que la valeur de u s’est très peu écartée du rapport , ou, autrement dit, que les chances u et 1 — u de ne pas se tromper et de se tromper, ont été entre elles comme les nombres n — i et i des voix de condamnation et d’acquittement. Il semblerait, d’après cela, que la probabilité au lieu de se réduire sensiblement à l’unité, devrait différer très peu de la valeur de p t relative à u = - * . Mais il faut remarquer que la probabilité p t répondant au cas où^a chance u n’a certainement qu’une seule valeur possible ; pour faire rentrer ce cas dans celui auquel répond l’expression de Ti, il faudrait supposer que Qu=-Qac. Le radical y/ , * sera susceptiblu double signe db; on prendra le signe supérieur dans les intégrales où la variable 0 est croissante, et le signe inférieur dans celle où elle est décroissante ; en changeant ensuite le signe de ces dernières, et intervertissant l’ordre de leurs limites, nous aurons &.IB- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMElNTS. 35 9 J' U t • a,et que l’on représente par b et b t les valeurs positives de A qui répondent àu = a et u — a t , on aura, au degré d’approximation où nous nous arrêtons, fl /„! i /7—Ü*d8. Par le procédé de l’intégration par partie, on a d’ailleurs f f d e - X ’ dx d9 = b f b e ~ x ' dcc ~\~\ — \ e ~ h ’ fXJ7^' dx m = et, par conséquent, />-*• + i -{** . fl Uwdu=fyudu - ,» v /î^i4,y^ e—dx+'- Je mets actuellement V,- à la place de U, dans les formules 11, et j’y change,en conséquence, en 1—wn° j 18.La première aura lieu quand surpassera ~ ^ c est-a-dxre depuis =1 — a jusqu a u = 1, en prenant n pour n - f- 1, et faisant toujours a = -—La seconde sub sistera depuis u = o jusqu’à u= 1 — a. En représentant par ô' ce que devient 0 par le changement de u en 1 — n, et continuant de négliger 36o RECHERCHES les termes de l’ordre de petitesse de -, nous aurons d’abord f' = ^, les limites des iutégrales que renferme la formule i3 se réduiront àu=o et u= i; on pourra faire sortir pu hors des signes f ; et comme on a I J', u i— ü n -du= Ç 2 u n ~[ i— ufdu, cette formule deviendra 46.. 364 RECHERCHES k i— udu Cr- k J'* u*-i—ujdu 4- i— k —u j du en supprimant le facteur constant = 5, la formule i5 donne les fractions . 1 14 92 378 1093 238 o 8192’ 8192’ 8192’ 8192’ 8192’ 8192’ pour la probabilité de l’erreur des condamnations prononcées par les 12 jurés, par 11 contre 1, par 10 contre 2, par 9 contre 3, par 8 contre 4> par 7 contre 5. A la plus petite majorité, la probabilité de l’erreur serait presque égale à ^ ; de sorte que sur un très grand nombre d’accusés, condamnés à la majorité de sept voix contre cinq, il serait très probable que les deux septièmes n’auraient pas dû l’être ; ce serait à peu près un huitième à la majorité de huit voix contre quatre. En appliquant l’hypothèse de Laplace à la formule 12; désignant par eT une quantité positive et qui n’excède pas et faisant k = Z = ^, Z' = ^-f-cf, on trouve J o n_ 1 —ujdu r a *u n - i 1— ù j i-t pour la probabilité que la chance u de ne pas se tromper, qui n’a pas pu, suivant l’hypothèse, s’abaisser au-dessous de -, a été comprise entre ^ et ^ -f- cf, dans une condamnation prononcée par n — i contre 36b RECHERCHES . i jurés. Les intégrations s’effectueront sans difficulté. Dans le cas de i = o, ou de l’unanimité, on aura Si l’on prend, par exemple, =12 et T = 0 , 448 , on trouve, à très peu près A, = de sorte qu’il y a un à parier contre un que la chance u a été comprise entre o,5, et 0 , 948 . En faisant eT= et ne supposant pas 1 = o, on a C = pr, [ 3" + - * + ^ - 3 + 3— - 5 + .. - -+- n - f- 1 .n. [ . - 3-^*-30], pour la probabilité que la chance u a été comprise entre ^ et , ou plus rapprochée de que de l’unité. Pour n = 12 et i'=5, la valeur de cette quantité est 0 , 915 ....; en sorte qu’il y a un peu plus de dix à parier contre un, que dans le cas de la plus petite majorité, cette 3 chance u a été au-dessous de 4 ^ 1 33. Puisque la formule i5 est déduite d’une autre dans laquelle la chance u de ne pas se tromper était la même pour tous les jurés, cette quantité ne saurait être, quoique Laplace ait omis de le dire, la chance propre à chacun des n jurés qui ont jugé l’accusé; elle doit représenter la chance moyenne relative à la liste générale sur laquelle ces n jurés ont été pris au hasard n° 122. Sur cette liste, il y a sans doute des personnes pour lesquelles la chance de ne pas se tromper, au moins dans les affaires difficiles, est au-dessous de - , ou moindre que la chance de se tromper. L’hypothèse de Laplace exige donc que leur nombre soit assez peu considérable pour ne pas empêcher la chance moyenne d’être toujours plus grande que L’illustre géomètre suppose, en outre , qu’au-dessus de 1 2 les valeurs de cette SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 567 chance, depuis “ = ~ jusqu’à u = 1, sont toutes également probables. La seule raison qu’il donne de cette double supposition est que l’opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu’à l’erreur. Mais, en partant de ce principe, on en conclurait seulement que la fonction L’hypothèse que nous examinons n’est donc pas suffisamment motivée à priori; et, comme on va le voir, les conséquences qui s’en déduisent la rendent tout-à-fait inadmissible. En effet, la formule i 5 , qui est une de ses conséquences nécessaires, ne renferme rien qui dépende de la capacité des personnes por- téê§ §ur lâ liste générale des jurés ; quelqu’un qui saurait, par exemple, que deux condamnations ont été prononcées à une même majorité, et par des jurys d’un même nombre de jurés, mais pris sur deux listes différentes, aurait donc la même raison de croire que ces deux jugements sont erronés, quoiqu’il sût que les personnes portées sur l’une des listes ont une capacité bien supérieure à celle des personnes portées sur l’autre; or, c’est déjà ce qu’il est impossible d’admettre. La fraction pétant plus petite que^, quand l’accusé est condamné à la majorité de n — i voix contre ij la quantité = a V —?—’ pour la première inconnue , bi /ibi ;l - =f * y — fc-bi a b pour la seconde inconnue ; _ _ . /ladft—ai =F a V —-p -1- pi - » pour la première différence, et =f - y'- ^ 0 d pour la deuxième. Toutes choses d’ailleurs égales, à mesure que u et fi' augmenteront , les amplitudes de ces limites décroîtront à peu près suivant la raison inverse des racines carrées de ces grands nombres, parce que a, et b t roitront à peu près comme le nombre , et que al et b/ croîtront de même avec pt!. Elles auront aussi d’autant moins d’étendue*que la quantité a sera plus petite ; mais leur probabilité P diminuera en même temps que a. 135. Toutes les données numériques dont je vais faire usage sont tirées, comme je l’ai dit dans le préambule de cet ouvrage, des Comptes généraux de Vadministration de la justice criminelle , publiés par le Gouvernement. Depuis 1825 jusqu’à i85o inclusivement, les nombres des affaires soumises annuellement aux jurys, dans la France entière, ont été 5i2i, 53oi , 5287, 5721, 55 o 6 , 5 o 68 ; et les nombres des accusés, dans ces procès criminels, se sont élevés à 6652, 6988, 6929, 7^96, 7^73, 6962; ce qui fait chaque année, à peu près sept accusés pour cinq affaires. 47 - RECHERCHES 572 Les nombres ries condamnés à la majorité d’au moins sept voix contre cinq, ont été, dans ces mêmes années , 4037, 4348 > 4 2 ^6, 4 ^ 5 1 , 44 76, 4 1 > d’où il résulte, pour les rapports de ces derniers nombres aux précédents, o,_io68, 0,6222, 0,6115, 0,6153, 0,6069, >5952 ; où l’on voit déjà que ces rapports annuels ont très peu varié, dans cet intervalle de six années pendant lesquelles la législation criminelle n’a pas changé. Je prends pour la somme des nombres des accusés pendant ces six années, et pour as celle des nombres correspondants des condamnés. On aura £t = 4 2 3 oo, d’où il résulte pour ces deux années, ^ =r 0,0887 ; = 0,5895. Ces rapports diffèrent, comme on voit, très peu l’un de l’autre; mais leur movenne o,5888 surpasse la valeur o,5388 de —, qui avait lieu en 1831, de o,o5, ou d’environ un dixième de cette valeur; ce qui serait hors de toute vraisemblance, d’après les limites c et leur probabilité P, s’il n’était survenu aucun changement dans les causes qui peuvent influer sur les votes des jurés. La législation criminelle a subi, en effet, un tel changement, qui consiste dans la question des circonstances atténuantes , posée aux jurys depuis i 832; question qui SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 7 5 entraîne, dans le cas de l’affirmative, une diminution de pénalité; ce qui a rendu les condamnations plus faciles et plus nombreuses. i 36 . Les différents rapports que nous venons de calculer pour la France entière, ne sont pas les mêmes pour toutes les parties du royaume; mais si l’on excepte le département de la Seine et quelques autres départements, les nombres des affaires criminelles qui ont été jugées en quelques années ne sont pas assez considérables pour que l’on en puisse déduire, avec une probabilité suffisante et pour chaque ressort de cours d’assises, la quantité constante vers laquelle doit converger le rapport du nombre des condamnés à celui des accusés. Voici les résultats relatifs à la cour d’assises de Paris. De i 8 a 5 à i 83 o, les nombres d’individus quelle a jugés annuellement ont été 802, 824, 6 7 5 , 868, 908, 8o4 ; et ceux des condamnés 56 7 , 527, 456 , 55 g, 604, 484; ce qui donne pour les rapports des uns aux autres 0,7070, o, 63 g 6 , 0,6459, 0,6440, o, 6652 , 0,6020. En prenant pour fx la somme des six premiers nombres, et pour a s celle des six nombres suivants, on aura fi = 4 881, a s = 3177, —=0,6509. D’après les nombres 423oo et 25779 d’accusés et de condamnés, relatifs à la France entière, pendant les mêmes années, nous avons trouvé que ce rapport doit différer très peu de 0,6094 ; fraction moindre que la précédente, de 0,0416, ou d’environ un quinzième de sa valeur; or les limites c et leur probabilité P rendraient un tel écart tout-à-fait invraisemblable, s’il n’y avait pas, pour le département de la Seine, une cause particulière qui rendît les condamnations plus faciles que dans le reste de la France. Quelle est cette cause? C’est ce que le calcul ne saurait nous apprendre. Toutefois, nous ferons remarquer que dans ce département, dont la population est à peine un trente-sixième de celle RECHERCHES 376 du royaume, le nombre des accusés surpasse un neuvième de celui qui a lieu, pour un même intervalle de temps, dans la France entière; en sorte qu’il est proportionnellement quatre fois aussi grand ; circonstance qui rend la répression des crimes plus nécessaire, et qui, peut-être pour cette raison, est cause d’une plus grande sévérité des jurés. Au moyen de ces valeurs de fL et a s , les limites a deviennent o ,65 09 a 0,00960 ; et si l’on prend a =2, on aura P = o,99532, 1—P = o,00468; c’est-à-dire plus de 200 à parier contre un, que l’inconnue R s ne diffère de o, 65 og, que de 0,0 ig 3 , en plus ou en moins. Le dernier 0,6020 des six rapports cités plus haut étant notablement moindre que la moyenne des cinq autres, il y a lieu d’examiner si cette différence indique suffisamment l’existence de quelque cause particulière qui aurait rendu les jurés moins sévères en i 83 o que dans les années précédentes. Or, en prenant pour fi. et o s les sommes des nombres d’accusés et de condamnés dans le département de la Seine, depuis 1826 jusqu’à 1829, et pour fi! et a' s les nombres relatifs à l’année i 83 o, on a fi. = 4077, a s = 2695, fi! = 804, a' s = 484 ; d’où il résulte ^ = o, 66 o 5 , r* t* *s 0,6019, r 1 5 t* o,o 585 . Les limites c deviennent aussi =F *°»02657 >’ en sorte qu’en faisant et = 2, il y aurait plus de 200 à parier contre un / que la différence des rapports — et ^ n’aurait pas dû excéder o,o 53 1 4 elle a surpassé cette fraction, d’à peu près un 1 o* de savaleur; on peu t donc SUR UA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 77 croire qu’il y a eu à cette époque quelque anomalie réelle dans les - votes des jurés; et la cause de cette anomalie, qui les a rendus un peu moins sévères, a pu être la Révolution de i 83 o. Cette cause, quelle quelle soit, paraît avoir agi sur les jurés de la France entière; car, en i 83 o, le rapport du nombre des condamnés à celui des accusés dans tout le royaume, s’est abaissé à près de 0,5g, tandis que sa valeur moyenne avait été 0,61 pour les cinq années précédentes. Depuis 1826 jusqu’à t 83 o inclusivement, le nombre des affaires criminelles s’est élevé, dans le département de la Seine, à 2963; et dans ce nombre il y a eu ig4 affaires où la condamnation par le jury a été prononcée à la majorité de sept voix contre cinq, et où cour a dû intervenir. En prenant le rapport de 19 j à 2963 pour la valeur de —, on auFa donc 1“ — = o,o 655 ; quantité un peu moindre que la valeur du même rapport pour la France entière. i 3 7 . Si nous considérions séparément, comme dans les Comptes généraux, toutes les espèces de crimes dont les cours d’assises ont eu à s’occuper, les nombres d’accusés et de condamnés pour chaque espèce en particulier, ne seraient pas assez grands pour donner lieu à des rapports constants, et servir de base à nos calculs. Mais dans ces Comptes f on a aussi groupé toutes les affaires criminelles en deux classes, dont l’une renferme les crimes contre les personnes, et l’autre les crimes contre les propriétés • et ces deux grandes divisions ont présenté annuellement des rapports très différents l’un de l’autre, mais à peu près invariables pour chacune d’elles. Ce sont ces rapports que nous allons citer. Pendant les six années comprises depuis 1825 jusqu’à i 85 o, les nombres des accusés de crimes contre les personnes, ont été, pour la France entière, 1897, 1907, et contre les propriétés • 9 1 G 1844, 1791, 1666, 48 mnpn, i 3 7 8 . RECHERCHES 4 7 55, 5o8i, 5oi8, 5552, 5582, 5296; les nombres correspondants des condamne's, sous l’empire d’une même législation criminelle, se sont élevés à 882, 967, 948, 8 7 i, 854, 766, pour les crimes de la première espèce, et à 3155, 338i, 3288, 368o, 364i, 3364, pour ceux de la seconde. De là, on déduit °> 4^49, o,5o 7 i, 0,4961, o,4 7 23, o,465 7 , 0,4598, pour les rapports des nombres de condamnés à ceux des accusés de crimes contre les personnes, et o,6635, o,6654, o,6552, 0,6628, o,6523, o,6352, pour les rapports des nombres de condamnés à ceux des accusés de crimes contre les propriétés ; où l’on voit que les uns et les autres n’ont pas beaucoup varié d’une année à uue autre, mais que les derniers excèdent notablement les premiers. En prenant pour fx et a s les sommes des nombres d’accusés et de condamnés dans le cas des crimes contre les personnes, et pour et a\ leurs sommes dans le cas des crimes contre les propriétés, nous aurons /* = 11016, 05=5268, fj t'= 31284, o ' 5 = 20509; d’où il résulte ces deux rapports a i = > 4782 , ÿ = o,6556 , r n dont le second surpasse le premier d’un peu plus du tiers de celui-ci. Au moyen de ces nombres, on trouve o, 4 7 82 qp a o,oo6 7 5 pour les limites a de l’inconnue R 5 , relative aux crimes contre les personnes, et 0,6556 qp a o,oo38o , SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5 79 pour ces limites relatives aux autres crimes. En faisant a = 2, il y aura une probabilité très approchante de la certitude, que cette inconnue R 5 ne diffère pas de la fraction 0,4782, de plus de 0,01 55 , dans le premier cas, et de la fraction o, 6556 , de plus de 0,0076, dans le second. En 1 83 1 , où les condamnations ont été prononcées à la majorité d’au moins huit voix contre quatre , si l’on prencf pour f/, et pour a 4 les nombres d’accusés et de condamnés, relatifs aux crimes contre les personnes , et pour fxl et a 4 ces nombres relatifs aux crimes contre les propriétés, on a !& — 2046, 4 = 743 , /-&' — 556 o, a ' 4 = 5355 ; d’où l’on tire - 4 = o, 363 1 , ^ = o,Go 34 ; /U fi et en retranchant ces rapports des précédents, il vient 65 o, ii5i , b !± t t* = 0,0022 , pour les rapports du nombre des condamnés à la plus petite majorité de sept voix contre cinq au nombre des accusés, dans les deux sortes de crimes. Il est remarquable que le rapport — , relatif aux crimes con- H" tre les personnes, soit à peu près double du rapport ^7, relatif aux t* crimes contre les propriétés , tandis qu’au contraire c’est le rap- f port -4 relatif à ces derniers crimes, qui surpasse d’environ un tiers le rapport — relatif aux premiers. Ainsi, non-seulement les condam- f* nations prononcées par les jurys ont été proportionnellement plus nombreuses dans le cas des crimes contre les propriétés, mais elles ont aussi été prononcées à de plus grandes majorités. Les rapports que nous considérons ne sont pas non plus tout-à- fait les mêmes pour les deux sexes. Chaque année, le nombre des femmes traduites aux cours d’assises est, à très peu près constamment, les dix-huit centièmes du nombre total des accusés des deux 48 .. 58o * ' RECHERCHES sexes. Dans les cinq années écoulées depuis 1826 jusqu’à i83o inclusivement, si l’on appelle x et fjtf les nombres de femmes accusées de crimes contre les personnes et de crimes contre les propriétés , et que l’on désigne dans ces nombres, par a s et a\ ceux des femmes condamnées, on aura fx = 5o5, \à! — 5465, a s = 586, a' s = 33i2; d’où l’on déduit J = 0,449° > ÿ = 0,6061 ; r r et en comparant ces rapports aux valeurs précédentes de — et ^4, on fi voit qu’ils sont moindres, mais seulement d’à peu près un 16 e ou un 12* de ces valeurs. Relativement aux années i 832 et i833, pendant lesquelles les condamnations ont été prononcées à la majorité d’au moins huit voix contre quatre et avec la question des circonstances atténuantes , on a eu, pour les accusés et les condamnés ds deux sexes, u = 4108, fx == 10421 , a 4 — 1889, a\ = 6664, et, par conséquent, J = 0,4598, ^ = o,6395; les lettres accentuées répondant, comme plus haut, aux crimes contre les propriétés, et les lettres non accentuées aux crimes contre les personnes. En faisant x= 2 dans l’expression des limites a, on trouve qu’il y a une probabilité très approchante de la certitude que l’inconnue R s ne s’écarte pas de la fraction 0,4698, de plus de 0,022, ou de la fraction o,63g5, de plus de 0,0133, selon qu’il s’agit des crimes de la seconde ou de la première espèce. On peut remarquer que les valeurs de ^ et ^4 ont conservé entre elles, à très peu près, le rapport qui existait entre celles de - et ^ qu’on a trouvées fi fi plus haut. En comparant ces quantités ^ et ^4, a leurs analogues en i83i , on peut aussi observer que l’influence de la question des SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 381 circonstances atténuantes a augmente le rapport ^4 relatif aux crimes contre les propriétés, seulement d’un i5% et le rapport —, f* relatif aux crimes contre les personnes, de près d’un tiers de sa valeur. 1 38. Maintenant, d'après ce qu’on a vu dans le n° ma, la chance, pour un accusé, d’être condamné par un jury pris au hasard sur la liste générale d’un département ou du ressort d’une cour d’assises, est la même que si la chance de ne pas se tromper était égale pour tous les membres de ce jury ; à la majorité d’au moins n —i contre i voix, la chance de la condamnation est donc exprimée par la première formule 6, et à la majorité de n — i voix contre i, par la formule 4; par conséquent, pour chaque département et pour chaque genre d’affaires criminelles, les quantités c t et y t , exprimées par ces formules, sont celles dont les rapports — et — approchent indéfiniment à mesure que le nombre /x, supposé très grand, augmente encore davantage; ou, autrement dit, les quantités c, et y, coïncident avec les inconnues R, et r t du n° i34, lorsque l’on considère des affaires d’un même genre, dans un même département, et même pour chaque sexe des accusés séparément. Nous rangerons en deux classes distinctes tous les genres d’affaires criminelles l’une de ces classes comprenant, comme plus haut, les crimes contre les personnes, et l’autre les crimes contre les propriétés. Mais, pour ne pas trop compliquer les calculs, nous n’aurons point égard au sexe des accusés, dont l’influence sur la proportion des condamnations peut être négligée, si l’on considère que, dans le nombre total des prévenus, le nombre des femmes n’est pas un cinquième de celui des hommes. Les lettres /x, a it b if c t , répondant aux affames de la première espèce, et les mêmes lettres accentuées désignant les quantités analogues relativement aux affaires de la seconde espèce, nous aurons, pour chaque département en particulier, aj_ t 1 h / • > a'i t* / >t , 6 avec d’autant plus d’approximation et de probabilité que les nombres /x et fx! seront plus considérables. RECHERCHES 382 Si les rapports qui forment les premiers membres de ces équations étaient donnés pour les différents départements, ces quatre équations suffiraient pour déterminer les inconnues k et u contenues dans c, et y ,, et leurs analogues dans c', et y', que je désignerai par k' et il ; mais la nécessité de très grands nombres u et fjJ rend impossible, quant à présent, l’application des équations 16 à chaque département isolément, et pour s’en servir, on sera obligé de supposer que les inconnues u, u ', k, k ', ne varient pas beaucoup, en général, d’un département à un autre; ce qui permettra d’employer dans leurs premiers membres, les rapports relatifs à la France entière. Les quantités u et u' que l’on déterminera de cette manière seront exactement les chances de ne pas se tromper qui auraient lieu si les listes de jurés de tous les départements étaient réunies en une seule, et que chaque juré fût pris au hasard sur cette liste totale. Dans cette hypothèse, les quantités k et k', en ce qu’elles dépendent de l’habileté des magistrats qui dirigent l’instruction préliminaire, pourraient encore n’être pas les mêmes dans les différents départements; mais les équations 16 étant linéaires par rapport à ces inconnues, leurs valeurs que l’on obtiendra, seraient alors les moyennes de celles qui ont réellement lieu pour tous les départements. Au reste, on doit observer que si l’on est obligé de se contenter de ces valeurs générales de u, u ', k, k', c’est seulemeut faute de données complètes de l’observation> et non pas par quelque imperfection de la théorie que nous exposons. expressions dec, et y t ne changent pas lorsqu’on y meti—A eli —u au lieu de k et u n os 117 et 118; pour des valeurs données de — et — , s’il y a un couple de valeurs de k et u plus grandes que ^, qui satisfassent aux deux premières équations 16, il y aura donc aussi un couple de valeurs de k et de u plus petites que ^qui satisferont également h ces équations. Or, on doit supposer que la probabilité moyenne de la culpabilité des accusés avant le jugement, surpasse celle de leur innocence, et que, chez les jurés, la chance moyenne de ne pas se tromper est plus grande que celle de l’erreur; ce sont donc les valeurs de k et u plus grandes que ^ qu’il faudra employer; 585 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. et l’on devra rejeter les autres comme étrangères à la question. La même remarque convient aux deux dernières équations 16 , et aux valeurs de k' et /j.' qui s’en déduiront. Toutefois, si l’on appliquait ces équations aux jugements en matière politique, rendus en grand nombre dans les temps malheureux de la Révolution, on pourrait employer, ainsi qu’on l’a expliqué dans le préambule de cet ouvrage, leurs racines moindres que car alors l’innocence légale des accusés avant le jugement pouvait être plus probable que leur culpabilité ; et pour les jurés, la probabilité qu’ils se tromperaient volontairement pouvait surpasser leur chance de ne pas se tromper. 159. Je fais n= 12 et i = 5 , dans les formules 4 et 6; les coefficients qu’elles contiennent auront pour valeurs N.= i, N, = i2, N a = 66 , N 3 = 22 o, N 4 = 495 , ^ = 792. Je fais aussi - 5 P 79 2 -y> u = 1 -H’ 1 la seconde équation 16 devient + , 2 *—!6 + ^0 = + — “* t pour la probabilité d’un jugement unanime, soit qu’il condamne, soit qu’il absolve. On aura aussi y* — cT. = 2 k— 1 ['* — 1 — '*]; quantité positive à cause de k> £ et u > 1— u, en sorte que l’unanimité est moins probable dans le cas de l’acquittement que dans celui de la condamnation. On voit que ces diverses probabilités sont très faibles, dès que la chance u de ne pas se tromper différé sensiblement de zéro et de l’unité. Si l’on prend, par exemple, les valeurs 49 - RECHERCHES 388 de u et k qui se rapportent à la France entière, sans distinction de l’espèce de crimes, c’est-à-dire si l’on fait k = o, 65 gi et u = 0,7494, il en résultera . >. = 0,0201, ^0 = 0,0113, >.-f- près de trente-deux à parier contre un qu’aucun jugement ne serait rendu; et cela arriverait 32 fois sur 33 environ, si les jurés ne communiquaient pas entre eux, et ne convenaient pas, pour en finir, de s’arrêter à une simple majorité. En appelant M la probabilité que dans un nombre p. de jugements, il n’y en a eu ou il n’y en aura aucun qui soit unanime, on aura M = ' — y. — J'.V'j et si l’on veut que M soit il faudra qu’on ait ** = rog._y 0 ^ 7 ü = 21 ’ 7 5 ’ en employant toujours la valeur précédente de y 0 - f- ce qui donne p' 5 = 0,9618. Enfin, si l’on considère les deux sortes de crimes indistinctement et toujours pour la France entière, on devra prendre o, 63 9 t et 2,9g, pour les valeurs de k et t a 0 140; et en désignant par RECHERCHES les nombres des jugements où c’est le juge A, ou A', ou A", qui n’a pas voté comme les deux autres. On aura, avec une très grande approximation et très probablement, Le nombre € étaut la sommede a, a', a", et b la somme de a, a', a*; la seconde de ces équations est une suite des trois dernières, et les ciuq équations se réduisent à quatre. Si les nombres a, a', a', étaient donnés par l’observation; en substituant dans les trois dernières équations, les expressions précédentes de a, a', a", on en pourrait déduire les valeurs de u, u, u", et en mettant dans la première équation l’expression de^;, on en conclurait la valeur de y ; de sorte que si ce nombre y était aussi donné par l’observation, la comparaison du nombre donné au nombre calculé servirait à vérifier la théorie. Les valeurs de u, u ', u ", étant ainsi déterminées, on en déduirait sans difficulté, au moyen des formules précédentes, les probabilités p et q de la bonté d’un jugement unanime et d’un jugement non unanime. Mais l’observation n’a fait connaître, pour aucun tribunal, les nombres y, a , a!, et"; toutefois, afin de donner un exemple de l’usage de ces formules, je choisirai arbitrairement les valeurs des probabilités u, u', u*. Je prends donc, par exemple, Pour chacun des trois juges, la chance de ne pas se tromper est plus grande que celle de l’erreur; A' et A" sont également instruits, et ont la même chance de ne pas se tromper ; A est plus instruit, et sa chance d’erreur est moindre. On aura de sorte qu’on pourra parier 17 contre 8, ou un peu plus de deux contre un, que les trois juges ne rendront pas un jugement uuanime. On aura aussi P = 7 . 85’ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 407 il y aurait donc 9 à parier contreun pour la bonté d’un jugement unanime, et seulement 5 y contre 28, ou, à très peu près, deux contreun pour la bonté d’un jugement non unanime. Pour ces trois juges, la chance moyenne de ne pas se tromper serait u' + '==! ; en les supposant également instruits et prenant cette fraction , pour la valeur commune de u, 11 on trouverait Ces valeurs dep et q étant un peu moindres que les précédentes, il s’ensuit que, dans notre exemple, une égale répartition entre les trois juges, de leur somme d’instruction, diminuerait la probabilité que le jugement est bon, soit qu’il ait eu lieu ou non à l’unanimité; mais, d’un autre côté, la dernière valeur de c étant plus grande que la première, et la première valeur de b surpassant la dernière, cette répartition égale de l’instruction augmente la probabilité que le jugement des trois juges sera unanime, et diminue, en conséquence, la probabilité qu’il ne le sera pas. Lorsque nous ignorons si un jugement rendu par les trois juges a été ou n’a pas été unanime, la raison que nous avons de croire que ce jugement soit bon diffère de p et de -211—v 5 t>*- 35 i —êV 3 ] =[i>-f-i—v] 7 = 1. On aura C = C' = ^, soit dans le cas de /=^, et pour une valeur quelconque de v , soit dans le cas de 0 = ^, et pour une valeur quelconque de /•; résultats qui sont d’ailleurs évidents en eux-mêmes. En considérant séparément les deux parties de l’expression de chacune des quantités C et C', on peut aussi dire que la première partie de C est la probabilité que les deux tribunaux successifs jugeront bien Çnn et l’autre; que la seconde partie est la probabilité qu’ils jugeront mal tous les deux ; que la première partie de C' exprime la probabilité que le premier tribunal jugera mal et le second bien ; et que, enfin, la seconde partie de C'sera la probabilité que le premier tribunal jugera bien, et le second mal. Si donc, 011 appelle f la probabilité que la cour d’appel jugera bien, soit que le tribunal de première instance juge bien ou mal; p sera la somme des deux premières parties de C et C', 1 —p la somme de leurs secondes parties, et l’on aura f = u 7 -+- 7^ 1 — p4-2ii> 5 i — O’ - ! - 55 > 4 i —v 3 , i — p = 1 — —— 71 — v e v + 211 — vfv* - f- 35 1 — cV , ainsi qu’on le trouverait directement. En désignant par T la probabilité que l’arrêt de celte cour sera confirmé par une seconde cour royale, composée également de sept juges, et par T’ la probabilité qu’il ne le sera pas; et en appelant w, pour chacun de ces sept juges, la chance de ne pas se tromper, T et T 7 se déduiront de C et C’ en y -v-r SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 411 mettant p et w au lieu de r et v; par conséquent, si l’on suppose qu’on ait w=v, il en résultera r = p' + 1 — f % , r' = api — f; valeurs qui satisfont à la condition r-f- T' = 1. D’après les expressions de C et C', celles de p et p' pourront d’ailleurs s’écrire ainsi _ r — C' _ r — C ^ ' 2 r — t ’ 1 ^ 2 r — 1 ’ Désignons encore par P la probabilité de la bonté de l’arrêt rendu par une première cour d’appel, lorsqu’il est conforme au jugement de première instance, et par P' quand il est contraire. Dans le premier cas, en supposant successivement que l’arrêtsoit bon et qu’il soit mauvais,la probabilité de l’événement observé, qui est ici la conformité des deux jugements, sera la première partie de C dans la première hypothèse, et la deuxième partie dans la seconde ; la probabilité P de la première hypothèse, aura donc pour valeur ccttc première partie de C divisée par la somme de ses deux parties; nous aurons, en conséquence, CP = r[V -f- 7 ,6 i — v + 21 1 — e’ -f- 35 v* 1 — o s ] ; et, l’on trouvera de même, C'P' = 1 — /’{V -f- 7 6 i — v - j- 2 iv 5 j — v * - f- 35V 4 '! — v 3 ] ; résultats qui se déduisent aussi, comme cela doit être, des formules g et 10, en y faisant k — r, n = 7, i= 3 . Ces équations pourront être remplacées par celles-ci CP = r P , C'P' = 1 - /•/>, en ayant égard à ce que p représente. i 5 o. Il faut au moins trois juges pour prononcer un jugement de première instance, et sept pour un arrêt de cour d’a ppel ; généralement ces moindres nombres ne sont pas dépassés; c’cst pourquoi, j’ai pris trois et sept pour les nombres déjugés des deux tribunaux successifs que je viens de considérer. En substituant pour r sa valeur en fonction de w, dans les formules que j’ai obtenues, elles renfermeront les deux chances u 52 .. 1 V 4ia . RECHERCHES et v, qui ne peuvent se déduire que de l’observation; malheureusement, elle ne nous fournit pour cela qu’une seule donnée, savoir, le rapport du nombre des jugements de première instance, confirmés par les cours royales, au nombre total des jugements qui ieur sont faire usage de ces formules, il est donc nécessaire de réduire à une seule, au moyen d’une hypothèse particulière, les deux inconnues u et v; celle qui m’a paru la plus naturelle a été de supposer qu’on ait v — u, c’est-à-dire, de regarder les juges du premier tribunal et ceux du second, comme ayant la même chance de ne pas se tromper. Cela posé, dans un très grand nombre ft. de jugements de première instance, soit m le nombre de ceux qui ont été confirmés, et, par conséquent, /jl — m celui des jugements non-confirmés. On pourra prendre le rapport ™ pour la valeur approchée et très probable de la pro- Z * 4 habilité que nous avons désignée par C; et si l’on fait C = V = U, U t 7+V I — II = 1 +' • il en résultera m _ 2r— 1 1 + -f- 2 i/’ 4 - 350 r On aura, eu même temps, r '+ 3t 2 r—i — 1 2fl + 3 '> - >+0” U + 0 3 ’ et en substituant ces valeurs dans celle de — , on obtiendra une équation du 10 e degré pour déterminer la valeur de t, et, par suite, celle de u. Dans le cas de v=u, l’expression de C demeure la même, quand on y change, u et r en 1—u et 1— rj ce qui répond au changement de t en ÿ. Il s’ensuit que si l’on satisfait à la valeur donnée de —, par une valeur de t plus petite que l’unité, on y satisfera égale- lement par une valeur de t plus grande que un ; et, en effet, l’équation d’où dépend l’inconnue t est du genre des équations réciproques, et SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. t O reste la même, quand on y met ÿ au lieu de t. Ce sera la valeur de t plus grande que l’unité, qu il faudra prendre ; car c’est celle qui répond à la valeur de u plus grande que c’est-à-dire, à une chance de ne pas se tromper plus grande que celle de se tromper, ce qu’on doit admettre dans le cas de magistrats intègres et instruits. i5i. Le Compte général de P administration de la justice civile, publié par le gouvernement, donne, pour le ressort de chaque cour royale, les nombres m et fi—m de jugements confirmés et de jugements non confirmés, pendant les trois derniers mois de i85i, et pendant les années entières i83» et r855. Mais il n’y a guère que le ressort de la cour royale de Paris, dans lequel le nombre total p soit assez grand pour servir isolément à la détermination de l\ nous serons donc obligés, quant à présent, de supposer, comme nous l’avons fait pour les jurés, que la chance u de ne pas se tromper est sensiblement égale pour tous les juges du royaume; ce qui permettra d’employer à la détermination de t, les valeurs de m et de j tu — p relatives a la to j talité des cours royales. Or, on a eu dans le dernier trimestre de 1 85i, en i 832 et en 1 853, et pour la France entière 771 = 976, 77 j =53 oi , 777 = 5470; P — 777 = 388, j U 777 = 2 {o5, P 7/7=2617, d’où l’on déduit, pour ces trois périodes, 777 77Z — = 0,7155, — H ' fi 0,6879, -=0,6764. Les deux derniers rapports, qui répondent à des années entières, ne diffèrent pas l’un de l’autre, d r un 70 * de leur moyenne; ce qui présente un exemple bien remarquable de la loi des grands nombres *. En prenant pour 771 et p les sommes des nombres relatifs aux trois périodes, on aura * Cette loi a été de nouveau confirmée par la valeur du rapport — , q^a eu lieu en 1824 , et q u ' s ’ esl élevée o,6g58, d’après le Compte relatif à cette année, que le gouvernement a publié, il y a peu de temps. 4i4 RECHERCHES m = 11747, ^=17157^-1=0,6847. Si l’on considérait séparément les nombres relatifs à la cour royale de Paris, on aurait m = 25 iu, = 5297 , ^ = 0,761 5 ; en sorte que dans le ressort de cette cour, le rapport — surpasse sa valeur moyenne pour la France entière, d’à peu près un 9' de sa valeur. En employant sa valeur 0,6847 relative à la France entière, on trouve £ = 2,-t57, u = o,683a, r = 0,7626. D’après cette valeur de r, il y a donc un peu plus de trois contre un à parier pour la bonté d’un jugement de première instance, lorsqu’on ne connaît, ni le tribunal qui a jugé, ni la nature du procès. On voit aussi que la chance ude ne pas se tromper surpasse fort peu, pour les juges en matière civile, la fraction 0,6788 qui exprimait cette chance, pour les jurés avant i 832, c’est-à-dire, avant la loi qui a prescrit la question des circonstances atténuantes. Au moyen de cette valeur de r, et en prenant les rapports ^ et ~ m pour les valeurs de C et C', on déduit des formules du nu- n r méro précédent, P = 0,9^79, P'= 0,6409, r = 0,7466 j ce qui montre que l’on peut parier à très peu près 19 contre un pour la bonté d’un arrêt d’appel conforme au jugement de première instance, et moins de deux contre un dans le cas d’un arrêt contraire. On voit aussi que quand on ignore si l’arrêt est conforme ou contraire, la probabilité T qu’il sera confirmé par une seconde cour royale, jugeant sur les mmes données que la première, est un peu moindre que Les quatre parties qui composent les expressions données de C et C', ont 'Wir k SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 4i5 pour valeurs rf = 0,6495, i-r p=o,2022, r i-/>=o,i i3i, 1 -ri-/>=o,o352 ; et ces fractions, dont la somme est Tunité, expriment les probabilités que les deux tribunaux successifs de première instance et d’appel, jugeront bien, que le premier jugera mal et le second bien, que le premier jugera bien et le second mal, que tous les deux jugeront mal. FIN. II» '» niv 4& 5gj ' * ' - mmm mm mm Wmmmm SMmi æggggn ►•s*»-*?** 4b- iéMi 7 ; ïfe ffriSata SijWÏf- y * 7 r J*’ i >c*-svi*a pptg V y y* -** '*rrj*M -VV 'Mm &SSSS < _, wsmk a?2^ -'*î?r<5

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